Cálculo Exemplos

$y = arcsec (\sqrt{3 x^{3}})$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3 x^{3}}$ como ${(3 x^{3})}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = arcsec ({(3 x^{3})}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 2

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (arcsec ({(3 x^{3})}^{\frac{1}{2}}))$

Etapa 3

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 4

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 4.1

Simplifique com fatoração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Fatore $3$ de $3 x^{3}$ .

$\frac{d}{d x} [arcsec ({(3 (x^{3}))}^{\frac{1}{2}})]$

Etapa 4.1.2

Aplique regras básicas de expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Aplique a regra do produto a $3 (x^{3})$ .

$\frac{d}{d x} [arcsec (3^{\frac{1}{2}} {(x^{3})}^{\frac{1}{2}})]$

Etapa 4.1.2.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{3})}^{\frac{1}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d x} [arcsec (3^{\frac{1}{2}} x^{3 (\frac{1}{2})})]$

Etapa 4.1.2.2.2

Combine $3$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [arcsec (3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})]$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = arcsec (x)$ e $g (x) = 3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}$ .

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Etapa 4.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [arcsec (u)] \frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}]$

Etapa 4.2.2

A derivada de $arcsec (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u \sqrt{u^{2} - 1}}$ .

$\frac{1}{u \sqrt{u^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}]$

Etapa 4.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{3 (\frac{1}{2})})}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}]$

Etapa 4.2.3.2

Combine $3$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}]$

Etapa 4.3

Diferencie.

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Etapa 4.3.1

Como $3^{\frac{1}{2}}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}$ em relação a $x$ é $3^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$\frac{1}{3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}} (3^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}])$

Etapa 4.3.2

Simplifique os termos.

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Etapa 4.3.2.1

Combine $3^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{1}{3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}}$ .

$\frac{3^{\frac{1}{2}}}{3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Etapa 4.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3^{\frac{1}{2}}}{3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Etapa 4.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Etapa 4.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})$

Etapa 4.4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Etapa 4.5

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}} (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 4.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})$

Etapa 4.7

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.7.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}} (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}})$

Etapa 4.7.2

Subtraia $2$ de $3$ .

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}} (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}})$

Etapa 4.8

Combine $\frac{3}{2}$ e $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{3}{2}} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}} \cdot \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$

Etapa 4.9

Multiplique $\frac{1}{x^{\frac{3}{2}} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}}$ por $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{3}{2}} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1} \cdot 2}$

Etapa 4.10

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.10.1

Mova $2$ para a esquerda de $x^{\frac{3}{2}} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2 \cdot (x^{\frac{3}{2}} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1})}$

Etapa 4.10.2

Mova $x^{\frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{3}{2 x^{\frac{3}{2}} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1} x^{- \frac{1}{2}}}$

Etapa 4.11

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.11.1

Multiplique $x^{\frac{3}{2}}$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 4.11.1.1

Mova $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{3}{2 (x^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}) \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}}$

Etapa 4.11.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{3}{2 x^{- \frac{1}{2} + \frac{3}{2}} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}}$

Etapa 4.11.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{3}{2 x^{\frac{- 1 + 3}{2}} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}}$

Etapa 4.11.1.4

Some $- 1$ e $3$ .

$\frac{3}{2 x^{\frac{2}{2}} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}}$

Etapa 4.11.1.5

Divida $2$ por $2$ .

$\frac{3}{2 x^{1} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}}$

Etapa 4.11.2

Simplifique $2 x^{1} \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}$ .

$\frac{3}{2 x \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}}$

Etapa 4.12

Simplifique.

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Etapa 4.12.1

Aplique a regra do produto a $3^{\frac{1}{2}} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{3}{2 x \sqrt{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2} {(x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}}$

Etapa 4.12.2

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.12.2.1

Multiplique os expoentes em ${(3^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.12.2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{2 x \sqrt{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}}$

Etapa 4.12.2.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.12.2.1.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3}{2 x \sqrt{3^{\frac{1}{2} \cdot 2} {(x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}}$

Etapa 4.12.2.1.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{3}{2 x \sqrt{3^{1} {(x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}}$

Etapa 4.12.2.2

Avalie o expoente.

$\frac{3}{2 x \sqrt{3 {(x^{\frac{3}{2}})}^{2} - 1}}$

Etapa 4.12.2.3

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{3}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.12.2.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{2 x \sqrt{3 x^{\frac{3}{2} \cdot 2} - 1}}$

Etapa 4.12.2.3.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.12.2.3.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3}{2 x \sqrt{3 x^{\frac{3}{2} \cdot 2} - 1}}$

Etapa 4.12.2.3.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{3}{2 x \sqrt{3 x^{3} - 1}}$

Etapa 4.12.3

Multiplique $\frac{3}{2 x \sqrt{3 x^{3} - 1}}$ por $\frac{\sqrt{3 x^{3} - 1}}{\sqrt{3 x^{3} - 1}}$ .

$\frac{3}{2 x \sqrt{3 x^{3} - 1}} \cdot \frac{\sqrt{3 x^{3} - 1}}{\sqrt{3 x^{3} - 1}}$

Etapa 4.12.4

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.12.4.1

Multiplique $\frac{3}{2 x \sqrt{3 x^{3} - 1}}$ por $\frac{\sqrt{3 x^{3} - 1}}{\sqrt{3 x^{3} - 1}}$ .

$\frac{3 \sqrt{3 x^{3} - 1}}{2 x \sqrt{3 x^{3} - 1} \sqrt{3 x^{3} - 1}}$

Etapa 4.12.4.2

Mova $\sqrt{3 x^{3} - 1}$ .

$\frac{3 \sqrt{3 x^{3} - 1}}{2 x (\sqrt{3 x^{3} - 1} \sqrt{3 x^{3} - 1})}$

Etapa 4.12.4.3

Eleve $\sqrt{3 x^{3} - 1}$ à potência de $1$ .

$\frac{3 \sqrt{3 x^{3} - 1}}{2 x ({\sqrt{3 x^{3} - 1}}^{1} \sqrt{3 x^{3} - 1})}$

Etapa 4.12.4.4

Eleve $\sqrt{3 x^{3} - 1}$ à potência de $1$ .

$\frac{3 \sqrt{3 x^{3} - 1}}{2 x ({\sqrt{3 x^{3} - 1}}^{1} {\sqrt{3 x^{3} - 1}}^{1})}$

Etapa 4.12.4.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{3 \sqrt{3 x^{3} - 1}}{2 x {\sqrt{3 x^{3} - 1}}^{1 + 1}}$

Etapa 4.12.4.6

Some $1$ e $1$ .

$\frac{3 \sqrt{3 x^{3} - 1}}{2 x {\sqrt{3 x^{3} - 1}}^{2}}$

Etapa 4.12.4.7

Reescreva ${\sqrt{3 x^{3} - 1}}^{2}$ como $3 x^{3} - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.12.4.7.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3 x^{3} - 1}$ como ${(3 x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 \sqrt{3 x^{3} - 1}}{2 x {({(3 x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 4.12.4.7.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 \sqrt{3 x^{3} - 1}}{2 x {(3 x^{3} - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 4.12.4.7.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{3 \sqrt{3 x^{3} - 1}}{2 x {(3 x^{3} - 1)}^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 4.12.4.7.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.12.4.7.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 \sqrt{3 x^{3} - 1}}{2 x {(3 x^{3} - 1)}^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 4.12.4.7.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{3 \sqrt{3 x^{3} - 1}}{2 x {(3 x^{3} - 1)}^{1}}$

Etapa 4.12.4.7.5

Simplifique.

$\frac{3 \sqrt{3 x^{3} - 1}}{2 x (3 x^{3} - 1)}$

Etapa 5

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = \frac{3 \sqrt{3 x^{3} - 1}}{2 x (3 x^{3} - 1)}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 \sqrt{3 x^{3} - 1}}{2 x (3 x^{3} - 1)}$