Cálculo Exemplos

$\int_{- 1}^{1} (1 + \sqrt{1 - x^{2}}) d x$

Etapa 1

Remova os parênteses.

$\int_{- 1}^{1} 1 + \sqrt{1 - x^{2}} d x$

Etapa 2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{- 1}^{1} d x + \int_{- 1}^{1} \sqrt{1 - x^{2}} d x$

Etapa 3

Aplique a regra da constante.

$x]_{- 1}^{1} + \int_{- 1}^{1} \sqrt{1 - x^{2}} d x$

Etapa 4

Deixe $x = \sin (t)$ , em que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Depois, $d x = \cos (t) d t$ . Como $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\cos (t)$ é positivo.

$x]_{- 1}^{1} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{1 - \sin^{2} (t)} \cos (t) d t$

Etapa 5

Simplifique os termos.

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Etapa 5.1

Simplifique $\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}$ .

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Etapa 5.1.1

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$x]_{- 1}^{1} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \sqrt{\cos^{2} (t)} \cos (t) d t$

Etapa 5.1.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x]_{- 1}^{1} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (t) \cos (t) d t$

Etapa 5.2

Simplifique.

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Etapa 5.2.1

Eleve $\cos (t)$ à potência de $1$ .

$x]_{- 1}^{1} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos^{1} (t) \cos (t) d t$

Etapa 5.2.2

Eleve $\cos (t)$ à potência de $1$ .

$x]_{- 1}^{1} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos^{1} (t) \cos^{1} (t) d t$

Etapa 5.2.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x]_{- 1}^{1} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

Etapa 5.2.4

Some $1$ e $1$ .

$x]_{- 1}^{1} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos^{2} (t) d t$

Etapa 6

Use a fórmula do arco metade para reescrever $\cos^{2} (t)$ como $\frac{1 + \cos (2 t)}{2}$ .

$x]_{- 1}^{1} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \frac{1 + \cos (2 t)}{2} d t$

Etapa 7

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $t$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$x]_{- 1}^{1} + \frac{1}{2} \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} 1 + \cos (2 t) d t$

Etapa 8

Divida a integral única em várias integrais.

$x]_{- 1}^{1} + \frac{1}{2} (\int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} d t + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

Etapa 9

Aplique a regra da constante.

$x]_{- 1}^{1} + \frac{1}{2} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} \cos (2 t) d t)$

Etapa 10

Deixe $u = 2 t$ . Depois, $d u = 2 d t$ , então, $\frac{1}{2} d u = d t$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 10.1

Deixe $u = 2 t$ . Encontre $\frac{d u}{d t}$ .

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Etapa 10.1.1

Diferencie $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Etapa 10.1.2

Como $2$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $2 t$ em relação a $t$ é $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 10.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 10.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 10.2

Substitua o limite inferior por $t$ em $u = 2 t$ .

$u_{lower} = 2 (- \frac{π}{2})$

Etapa 10.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 10.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{π}{2}$ para o numerador.

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2}$

Etapa 10.3.2

Cancele o fator comum.

$u_{lower} = 2 \frac{- π}{2}$

Etapa 10.3.3

Reescreva a expressão.

$u_{lower} = - π$

Etapa 10.4

Substitua o limite superior por $t$ em $u = 2 t$ .

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Etapa 10.5

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 10.5.1

Cancele o fator comum.

$u_{upper} = 2 \frac{π}{2}$

Etapa 10.5.2

Reescreva a expressão.

$u_{upper} = π$

Etapa 10.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = - π$

$u_{upper} = π$

Etapa 10.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$x]_{- 1}^{1} + \frac{1}{2} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- π}^{π} \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Etapa 11

Combine $\cos (u)$ e $\frac{1}{2}$ .

$x]_{- 1}^{1} + \frac{1}{2} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \int_{- π}^{π} \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Etapa 12

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$x]_{- 1}^{1} + \frac{1}{2} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \int_{- π}^{π} \cos (u) d u)$

Etapa 13

A integral de $\cos (u)$ com relação a $u$ é $\sin (u)$ .

$x]_{- 1}^{1} + \frac{1}{2} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \sin (u)]_{- π}^{π})$

Etapa 14

Substitua e simplifique.

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Etapa 14.1

Avalie $x$ em $1$ e em $- 1$ .

$(1) + 1 + \frac{1}{2} (t]_{- \frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}} + \frac{1}{2} \sin (u)]_{- π}^{π})$

Etapa 14.2

Avalie $t$ em $\frac{π}{2}$ e em $- \frac{π}{2}$ .

$(1) + 1 + \frac{1}{2} ((\frac{π}{2}) + \frac{π}{2} + \frac{1}{2} \sin (u)]_{- π}^{π})$

Etapa 14.3

Avalie $\sin (u)$ em $π$ e em $- π$ .

$(1) + 1 + \frac{1}{2} ((\frac{π}{2}) + \frac{π}{2} + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

Etapa 14.4

Simplifique.

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Etapa 14.4.1

Some $1$ e $1$ .

$2 + \frac{1}{2} ((\frac{π}{2}) + \frac{π}{2} + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

Etapa 14.4.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2 + \frac{1}{2} (\frac{π + π}{2} + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

Etapa 14.4.3

Some $π$ e $π$ .

$2 + \frac{1}{2} (\frac{2 π}{2} + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

Etapa 14.4.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 14.4.4.1

Cancele o fator comum.

$2 + \frac{1}{2} (\frac{2 π}{2} + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

Etapa 14.4.4.2

Divida $π$ por $1$ .

$2 + \frac{1}{2} (π + \frac{1}{2} ((\sin (π)) - \sin (- π)))$

$2 + \frac{1}{2} (π + \frac{1}{2} (\sin (π) - \sin (- π)))$

Etapa 15

Simplifique cada termo.

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Etapa 15.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 15.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 15.1.1.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$2 + \frac{1}{2} (π + \frac{1}{2} (\sin (0) - \sin (- π)))$

Etapa 15.1.1.2

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$2 + \frac{1}{2} (π + \frac{1}{2} (0 - \sin (- π)))$

Etapa 15.1.1.3

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$2 + \frac{1}{2} (π + \frac{1}{2} (0 - \sin (0)))$

Etapa 15.1.1.4

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$2 + \frac{1}{2} (π + \frac{1}{2} (0 - 0))$

Etapa 15.1.1.5

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$2 + \frac{1}{2} (π + \frac{1}{2} (0 + 0))$

Etapa 15.1.2

Some $0$ e $0$ .

$2 + \frac{1}{2} (π + \frac{1}{2} \cdot 0)$

Etapa 15.1.3

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $0$ .

$2 + \frac{1}{2} (π + 0)$

Etapa 15.2

Some $π$ e $0$ .

$2 + \frac{1}{2} π$

Etapa 15.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $π$ .

$2 + \frac{π}{2}$

Etapa 16

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$2 + \frac{π}{2}$

Forma decimal:

$3.57079632 \dots$

Etapa 17