Cálculo Exemplos

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{3 \cos (x)}{2 x - π}$

Etapa 1

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$3 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\cos (x)}{2 x - π}$

Etapa 2

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 2.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 2.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$3 \frac{lim_{x \to \frac{π}{2}} \cos (x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - π}$

Etapa 2.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 2.1.2.1

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$3 \frac{\cos (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - π}$

Etapa 2.1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $\frac{π}{2}$ por $x$ .

$3 \frac{\cos (\frac{π}{2})}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - π}$

Etapa 2.1.2.3

O valor exato de $\cos (\frac{π}{2})$ é $0$ .

$3 \frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - π}$

Etapa 2.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 2.1.3.1

Avalie o limite.

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Etapa 2.1.3.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\frac{π}{2}$ .

$3 \frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{2}} 2 x - lim_{x \to \frac{π}{2}} π}$

Etapa 2.1.3.1.2

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$3 \frac{0}{2 lim_{x \to \frac{π}{2}} x - lim_{x \to \frac{π}{2}} π}$

Etapa 2.1.3.1.3

Avalie o limite de $π$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\frac{π}{2}$ .

$3 \frac{0}{2 lim_{x \to \frac{π}{2}} x - π}$

Etapa 2.1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $\frac{π}{2}$ por $x$ .

$3 \frac{0}{2 \frac{π}{2} - π}$

Etapa 2.1.3.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 2.1.3.3.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.1.3.3.1.1

Cancele o fator comum.

$3 \frac{0}{2 \frac{π}{2} - π}$

Etapa 2.1.3.3.1.2

Reescreva a expressão.

$3 \frac{0}{π - π}$

Etapa 2.1.3.3.2

Subtraia $π$ de $π$ .

$3 (\frac{0}{0})$

Etapa 2.1.3.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$3 (\frac{0}{0})$

Etapa 2.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$3 (\frac{0}{0})$

Etapa 2.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$3 (\frac{0}{0})$

Etapa 2.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\cos (x)}{2 x - π} = lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [2 x - π]}$

Etapa 2.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 2.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$3 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [2 x - π]}$

Etapa 2.3.2

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$3 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \sin (x)}{\frac{d}{d x} [2 x - π]}$

Etapa 2.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x - π$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- π]$ .

$3 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \sin (x)}{\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- π]}$

Etapa 2.3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Etapa 2.3.4.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \sin (x)}{2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- π]}$

Etapa 2.3.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \sin (x)}{2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- π]}$

Etapa 2.3.4.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$3 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \sin (x)}{2 + \frac{d}{d x} [- π]}$

Etapa 2.3.5

Como $- π$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- π$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \sin (x)}{2 + 0}$

Etapa 2.3.6

Some $2$ e $0$ .

$3 lim_{x \to \frac{π}{2}} \frac{- \sin (x)}{2}$

Etapa 3

Avalie o limite.

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Etapa 3.1

Mova o termo $\frac{1}{2}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$3 (\frac{1}{2}) lim_{x \to \frac{π}{2}} - \sin (x)$

Etapa 3.2

Mova o termo $- 1$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$3 (\frac{1}{2}) \cdot - 1 lim_{x \to \frac{π}{2}} \sin (x)$

Etapa 3.3

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$3 (\frac{1}{2}) \cdot - 1 \sin (lim_{x \to \frac{π}{2}} x)$

Etapa 4

Avalie o limite de $x$ substituindo $\frac{π}{2}$ por $x$ .

$3 (\frac{1}{2}) \cdot - 1 \sin (\frac{π}{2})$

Etapa 5

Simplifique a resposta.

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Etapa 5.1

Combine $3$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{2} \cdot - 1 \sin (\frac{π}{2})$

Etapa 5.2

Multiplique $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

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Etapa 5.2.1

Combine $\frac{3}{2}$ e $- 1$ .

$\frac{3 \cdot - 1}{2} \sin (\frac{π}{2})$

Etapa 5.2.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{- 3}{2} \sin (\frac{π}{2})$

Etapa 5.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{3}{2} \sin (\frac{π}{2})$

Etapa 5.4

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$- \frac{3}{2} \cdot 1$

Etapa 5.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- \frac{3}{2}$

Etapa 6

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- \frac{3}{2}$

Forma decimal:

$- 1.5$