Cálculo Exemplos

$- y + y^{2} - 4 y^{3} + x^{2} = 0$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (- y + y^{2} - 4 y^{3} + x^{2}) = \frac{d}{d x} (0)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- y + y^{2} - 4 y^{3} + x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [- y] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- y]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- y$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$- \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.2.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$- y' + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

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Etapa 2.3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 2.3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $y$ .

$- y' + \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.3.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- y' + 2 u_{1} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $y$ .

$- y' + 2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 4 y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.3.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$- y' + 2 y y' + \frac{d}{d x} [- 4 y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 4 y^{3}]$ .

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Etapa 2.4.1

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 y^{3}$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$- y' + 2 y y' - 4 \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 2.4.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $y$ .

$- y' + 2 y y' - 4 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.4.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$- y' + 2 y y' - 4 (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.4.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $y$ .

$- y' + 2 y y' - 4 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.4.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$- y' + 2 y y' - 4 (3 y^{2} y') + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.4.4

Multiplique $3$ por $- 4$ .

$- y' + 2 y y' - 12 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 2.5.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$- y' + 2 y y' - 12 y^{2} y' + 2 x$

Etapa 2.5.2

Reordene os termos.

$2 y y' - 12 y^{2} y' + 2 x - y'$

Etapa 3

Como $0$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $0$ em relação a $x$ é $0$ .

$0$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$2 y y' - 12 y^{2} y' + 2 x - y' = 0$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Subtraia $2 x$ dos dois lados da equação.

$2 y y' - 12 y^{2} y' - y' = - 2 x$

Etapa 5.2

Fatore $y'$ de $2 y y' - 12 y^{2} y' - y'$ .

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Etapa 5.2.1

Fatore $y'$ de $2 y y'$ .

$y' (2 y) - 12 y^{2} y' - y' = - 2 x$

Etapa 5.2.2

Fatore $y'$ de $- 12 y^{2} y'$ .

$y' (2 y) + y' (- 12 y^{2}) - y' = - 2 x$

Etapa 5.2.3

Fatore $y'$ de $- y'$ .

$y' (2 y) + y' (- 12 y^{2}) + y' \cdot - 1 = - 2 x$

Etapa 5.2.4

Fatore $y'$ de $y' (2 y) + y' (- 12 y^{2})$ .

$y' (2 y - 12 y^{2}) + y' \cdot - 1 = - 2 x$

Etapa 5.2.5

Fatore $y'$ de $y' (2 y - 12 y^{2}) + y' \cdot - 1$ .

$y' (2 y - 12 y^{2} - 1) = - 2 x$

Etapa 5.3

Reordene os termos.

$y' (- 12 y^{2} + 2 y - 1) = - 2 x$

Etapa 5.4

Divida cada termo em $y' (- 12 y^{2} + 2 y - 1) = - 2 x$ por $- 12 y^{2} + 2 y - 1$ e simplifique.

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Etapa 5.4.1

Divida cada termo em $y' (- 12 y^{2} + 2 y - 1) = - 2 x$ por $- 12 y^{2} + 2 y - 1$ .

$\frac{y' (- 12 y^{2} + 2 y - 1)}{- 12 y^{2} + 2 y - 1} = \frac{- 2 x}{- 12 y^{2} + 2 y - 1}$

Etapa 5.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.4.2.1

Cancele o fator comum de $- 12 y^{2} + 2 y - 1$ .

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Etapa 5.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (- 12 y^{2} + 2 y - 1)}{- 12 y^{2} + 2 y - 1} = \frac{- 2 x}{- 12 y^{2} + 2 y - 1}$

Etapa 5.4.2.1.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{- 12 y^{2} + 2 y - 1}$

Etapa 5.4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.4.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{2 x}{- 12 y^{2} + 2 y - 1}$

Etapa 5.4.3.2

Fatore $- 1$ de $- 12 y^{2}$ .

$y' = - \frac{2 x}{- (12 y^{2}) + 2 y - 1}$

Etapa 5.4.3.3

Fatore $- 1$ de $2 y$ .

$y' = - \frac{2 x}{- (12 y^{2}) - (- 2 y) - 1}$

Etapa 5.4.3.4

Fatore $- 1$ de $- (12 y^{2}) - (- 2 y)$ .

$y' = - \frac{2 x}{- (12 y^{2} - 2 y) - 1}$

Etapa 5.4.3.5

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$y' = - \frac{2 x}{- (12 y^{2} - 2 y) - 1 (1)}$

Etapa 5.4.3.6

Fatore $- 1$ de $- (12 y^{2} - 2 y) - 1 (1)$ .

$y' = - \frac{2 x}{- (12 y^{2} - 2 y + 1)}$

Etapa 5.4.3.7

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.4.3.7.1

Reescreva $- (12 y^{2} - 2 y + 1)$ como $- 1 (12 y^{2} - 2 y + 1)$ .

$y' = - \frac{2 x}{- 1 (12 y^{2} - 2 y + 1)}$

Etapa 5.4.3.7.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - - \frac{2 x}{12 y^{2} - 2 y + 1}$

Etapa 5.4.3.7.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$y' = 1 \frac{2 x}{12 y^{2} - 2 y + 1}$

Etapa 5.4.3.7.4

Multiplique $\frac{2 x}{12 y^{2} - 2 y + 1}$ por $1$ .

$y' = \frac{2 x}{12 y^{2} - 2 y + 1}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{12 y^{2} - 2 y + 1}$