Cálculo Exemplos

$\int \frac{2 x^{3} \ln ({(3 + x^{4})}^{4})}{3 + x^{4}} d x$

Etapa 1

Reescreva $\frac{2 x^{3} \ln ({(3 + x^{4})}^{4})}{3 + x^{4}}$ como $\frac{2 x^{3} (4 \ln (3 + x^{4}))}{3 + x^{4}}$ .

$\int \frac{2 x^{3} (4 \ln (3 + x^{4}))}{3 + x^{4}} d x$

Etapa 2

Como $2 \cdot 4$ é constante com relação a $x$ , mova $2 \cdot 4$ para fora da integral.

$2 \cdot 4 \int \frac{x^{3} (\ln (3 + x^{4}))}{3 + x^{4}} d x$

Etapa 3

Multiplique $2$ por $4$ .

$8 \int \frac{x^{3} (\ln (3 + x^{4}))}{3 + x^{4}} d x$

Etapa 4

Deixe $u_{1} = 3 + x^{4}$ . Depois, $d u_{1} = 4 x^{3} d x$ , então, $\frac{1}{4} d u_{1} = x^{3} d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Deixe $u_{1} = 3 + x^{4}$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Diferencie $3 + x^{4}$ .

$\frac{d}{d x} [3 + x^{4}]$

Etapa 4.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 + x^{4}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 4.1.3

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 4.1.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$0 + 4 x^{3}$

Etapa 4.1.5

Some $0$ e $4 x^{3}$ .

$4 x^{3}$

Etapa 4.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$8 \int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1}} \cdot \frac{1}{4} d u_{1}$

Etapa 5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Multiplique $\frac{\ln (u_{1})}{u_{1}}$ por $\frac{1}{4}$ .

$8 \int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1} \cdot 4} d u_{1}$

Etapa 5.2

Mova $4$ para a esquerda de $u_{1}$ .

$8 \int \frac{\ln (u_{1})}{4 u_{1}} d u_{1}$

Etapa 6

Como $\frac{1}{4}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{4}$ para fora da integral.

$8 (\frac{1}{4} \int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1}} d u_{1})$

Etapa 7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Combine $\frac{1}{4}$ e $8$ .

$\frac{8}{4} \int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1}} d u_{1}$

Etapa 7.2

Cancele o fator comum de $8$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Fatore $4$ de $8$ .

$\frac{4 \cdot 2}{4} \int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1}} d u_{1}$

Etapa 7.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1

Fatore $4$ de $4$ .

$\frac{4 \cdot 2}{4 (1)} \int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1}} d u_{1}$

Etapa 7.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 1} \int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1}} d u_{1}$

Etapa 7.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2}{1} \int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1}} d u_{1}$

Etapa 7.2.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$2 \int \frac{\ln (u_{1})}{u_{1}} d u_{1}$

Etapa 8

Deixe $u_{2} = \ln (u_{1})$ . Depois, $d u_{2} = \frac{1}{u_{1}} d u_{1}$ , então, $u_{1} d u_{2} = d u_{1}$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Deixe $u_{2} = \ln (u_{1})$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1.1

Diferencie $\ln (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})]$

Etapa 8.1.2

A derivada de $\ln (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}}$

Etapa 8.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$2 \int u_{2} d u_{2}$

Etapa 9

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u_{2}$ com relação a $u_{2}$ é $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$2 (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

Etapa 10

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Reescreva $2 (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$ como $2 (\frac{1}{2}) {u_{2}}^{2} + C$ .

$2 (\frac{1}{2}) {u_{2}}^{2} + C$

Etapa 10.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.1

Combine $2$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} {u_{2}}^{2} + C$

Etapa 10.2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2}{2} {u_{2}}^{2} + C$

Etapa 10.2.2.2

Reescreva a expressão.

$1 {u_{2}}^{2} + C$

Etapa 10.2.3

Multiplique ${u_{2}}^{2}$ por $1$ .

${u_{2}}^{2} + C$

Etapa 11

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $\ln (u_{1})$ .

$\ln^{2} (u_{1}) + C$

Etapa 11.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $3 + x^{4}$ .

$\ln^{2} (3 + x^{4}) + C$