Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{\infty} \frac{1}{4 x^{2} + 9} d x$

Etapa 1

Escreva a integral como um limite à medida que $t$ se aproxima de $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} \frac{1}{4 x^{2} + 9} d x$

Etapa 2

Reordene $4 x^{2}$ e $9$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} \frac{1}{9 + 4 x^{2}} d x$

Etapa 3

Fatore $4$ de $9 + 4 x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Fatore $4$ de $9$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} \frac{1}{4 (\frac{9}{4}) + 4 x^{2}} d x$

Etapa 3.2

Fatore $4$ de $4 x^{2}$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} \frac{1}{4 (\frac{9}{4}) + 4 (x^{2})} d x$

Etapa 3.3

Fatore $4$ de $4 (\frac{9}{4}) + 4 (x^{2})$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} \frac{1}{4 (\frac{9}{4} + x^{2})} d x$

Etapa 4

Como $\frac{1}{4}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{4}$ para fora da integral.

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{4} \int_{0}^{t} \frac{1}{\frac{9}{4} + x^{2}} d x$

Etapa 5

Reescreva $\frac{9}{4}$ como ${(\frac{3}{2})}^{2}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{4} \int_{0}^{t} \frac{1}{{(\frac{3}{2})}^{2} + x^{2}} d x$

Etapa 6

A integral de $\frac{1}{{(\frac{3}{2})}^{2} + x^{2}}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{\frac{3}{2}} \arctan (\frac{x}{\frac{3}{2}})]_{0}^{t}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{4} \frac{1}{\frac{3}{2}} \arctan (\frac{x}{\frac{3}{2}})]_{0}^{t}$

Etapa 7

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{3}{2}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{4} 1 (\frac{2}{3}) \arctan (\frac{x}{\frac{3}{2}})]_{0}^{t}$

Etapa 7.1.2

Multiplique $\frac{2}{3}$ por $1$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{4} \frac{2}{3} \arctan (\frac{x}{\frac{3}{2}})]_{0}^{t}$

Etapa 7.1.3

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{3}{2}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{4} \frac{2}{3} \arctan (x \frac{2}{3})]_{0}^{t}$

Etapa 7.1.4

Combine $x$ e $\frac{2}{3}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{4} \frac{2}{3} \arctan (\frac{x \cdot 2}{3})]_{0}^{t}$

Etapa 7.1.5

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{4} \frac{2}{3} \arctan (\frac{2 \cdot x}{3})]_{0}^{t}$

Etapa 7.1.6

Combine $\frac{2}{3}$ e $\arctan (\frac{2 x}{3})$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{4} \frac{2 \arctan (\frac{2 x}{3})}{3}]_{0}^{t}$

Etapa 7.1.7

Combine $\frac{1}{4}$ e $\frac{2 \arctan (\frac{2 x}{3})}{3}]_{0}^{t}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{2 \arctan (\frac{2 x}{3})}{3}]_{0}^{t}}{4}$

Etapa 7.2

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Avalie $\frac{2 \arctan (\frac{2 x}{3})}{3}$ em $t$ e em $0$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{(\frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3})}{3}) - \frac{2 \arctan (\frac{2 \cdot 0}{3})}{3}}{4}$

Etapa 7.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1

Multiplique $2$ por $0$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3})}{3} - \frac{2 \arctan (\frac{0}{3})}{3}}{4}$

Etapa 7.2.2.2

Cancele o fator comum de $0$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.2.1

Fatore $3$ de $0$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3})}{3} - \frac{2 \arctan (\frac{3 (0)}{3})}{3}}{4}$

Etapa 7.2.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.2.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3})}{3} - \frac{2 \arctan (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})}{3}}{4}$

Etapa 7.2.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3})}{3} - \frac{2 \arctan (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})}{3}}{4}$

Etapa 7.2.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3})}{3} - \frac{2 \arctan (\frac{0}{1})}{3}}{4}$

Etapa 7.2.2.2.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{\frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3})}{3} - \frac{2 \arctan (0)}{3}}{4}$

Etapa 7.2.2.3

Multiplique $\frac{\frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3})}{3} - \frac{2 \arctan (0)}{3}}{4}$ por $\frac{3}{3}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{3}{3} \cdot \frac{\frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3})}{3} - \frac{2 \arctan (0)}{3}}{4}$

Etapa 7.2.2.4

Combine.

$lim_{t \to \infty} \frac{3 (\frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3})}{3} - \frac{2 \arctan (0)}{3})}{3 \cdot 4}$

Etapa 7.2.2.5

Aplique a propriedade distributiva.

$lim_{t \to \infty} \frac{3 \frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3})}{3} + 3 (- \frac{2 \arctan (0)}{3})}{3 \cdot 4}$

Etapa 7.2.2.6

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.6.1

Cancele o fator comum.

$lim_{t \to \infty} \frac{3 \frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3})}{3} + 3 (- \frac{2 \arctan (0)}{3})}{3 \cdot 4}$

Etapa 7.2.2.6.2

Reescreva a expressão.

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3}) + 3 (- \frac{2 \arctan (0)}{3})}{3 \cdot 4}$

Etapa 7.2.2.7

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3}) - 3 \frac{2 \arctan (0)}{3}}{3 \cdot 4}$

Etapa 7.2.2.8

Combine $- 3$ e $\frac{2 \arctan (0)}{3}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3}) + \frac{- 3 (2 \arctan (0))}{3}}{3 \cdot 4}$

Etapa 7.2.2.9

Multiplique $2$ por $- 3$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3}) + \frac{- 6 \arctan (0)}{3}}{3 \cdot 4}$

Etapa 7.2.2.10

Cancele o fator comum de $- 6$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.10.1

Fatore $3$ de $- 6 \arctan (0)$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3}) + \frac{3 (- 2 \arctan (0))}{3}}{3 \cdot 4}$

Etapa 7.2.2.10.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.10.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3}) + \frac{3 (- 2 \arctan (0))}{3 (1)}}{3 \cdot 4}$

Etapa 7.2.2.10.2.2

Cancele o fator comum.

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3}) + \frac{3 (- 2 \arctan (0))}{3 \cdot 1}}{3 \cdot 4}$

Etapa 7.2.2.10.2.3

Reescreva a expressão.

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3}) + \frac{- 2 \arctan (0)}{1}}{3 \cdot 4}$

Etapa 7.2.2.10.2.4

Divida $- 2 \arctan (0)$ por $1$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3}) - 2 \arctan (0)}{3 \cdot 4}$

Etapa 7.2.2.11

Multiplique $3$ por $4$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 \arctan (\frac{2 t}{3}) - 2 \arctan (0)}{12}$

Etapa 7.2.2.12

Cancele o fator comum de $2 \arctan (\frac{2 t}{3}) - 2 \arctan (0)$ e $12$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.12.1

Fatore $2$ de $2 \arctan (\frac{2 t}{3})$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 (\arctan (\frac{2 t}{3})) - 2 \arctan (0)}{12}$

Etapa 7.2.2.12.2

Fatore $2$ de $- 2 \arctan (0)$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 (\arctan (\frac{2 t}{3})) + 2 (- \arctan (0))}{12}$

Etapa 7.2.2.12.3

Fatore $2$ de $2 (\arctan (\frac{2 t}{3})) + 2 (- \arctan (0))$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 (\arctan (\frac{2 t}{3}) - \arctan (0))}{12}$

Etapa 7.2.2.12.4

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.12.4.1

Fatore $2$ de $12$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{2 (\arctan (\frac{2 t}{3}) - \arctan (0))}{2 (6)}$

Etapa 7.2.2.12.4.2

Cancele o fator comum.

$lim_{t \to \infty} \frac{2 (\arctan (\frac{2 t}{3}) - \arctan (0))}{2 \cdot 6}$

Etapa 7.2.2.12.4.3

Reescreva a expressão.

$lim_{t \to \infty} \frac{\arctan (\frac{2 t}{3}) - \arctan (0)}{6}$

Etapa 8

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Mova o termo $\frac{1}{6}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $t$ .

$\frac{1}{6} lim_{t \to \infty} \arctan (\frac{2 t}{3}) - \arctan (0)$

Etapa 8.2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $t$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{1}{6} (lim_{t \to \infty} \arctan (\frac{2 t}{3}) - lim_{t \to \infty} \arctan (0))$

Etapa 8.3

O limite no infinito de um polinômio cujo coeficiente de maior ordem é positivo é o infinito.

$\frac{1}{6} (\infty - lim_{t \to \infty} \arctan (0))$

Etapa 8.4

Substitua $t$ por $\frac{2 t}{3}$ e deixe que $t$ se aproxime de $\infty$ , pois $lim_{t \to \infty} \frac{2 t}{3} = \infty$ .

$\frac{1}{6} (lim_{t \to \infty} \arctan (t) - lim_{t \to \infty} \arctan (0))$

Etapa 8.5

O limite à medida que $t$ se aproxima de $\infty$ é $\frac{π}{2}$ .

$\frac{1}{6} (\frac{π}{2} - lim_{t \to \infty} \arctan (0))$

Etapa 8.6

Avalie o limite de $\arctan (0)$ , que é constante à medida que $t$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{1}{6} (\frac{π}{2} - \arctan (0))$

Etapa 8.7

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.7.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.7.1.1

O valor exato de $\arctan (0)$ é $0$ .

$\frac{1}{6} (\frac{π}{2} - 0)$

Etapa 8.7.1.2

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$\frac{1}{6} (\frac{π}{2} + 0)$

Etapa 8.7.2

Some $\frac{π}{2}$ e $0$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{π}{2}$

Etapa 8.7.3

Multiplique $\frac{1}{6} \cdot \frac{π}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.7.3.1

Multiplique $\frac{1}{6}$ por $\frac{π}{2}$ .

$\frac{π}{6 \cdot 2}$

Etapa 8.7.3.2

Multiplique $6$ por $2$ .

$\frac{π}{12}$

Etapa 9

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{π}{12}$

Forma decimal:

$0.26179938 \dots$