Cálculo Exemplos

$5 x (\sqrt{x} - x^{2})$

Etapa 1

Escreva $5 x (\sqrt{x} - x^{2})$ como uma função.

$f (x) = 5 x (\sqrt{x} - x^{2})$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int 5 x (\sqrt{x} - x^{2}) d x$

Etapa 4

Como $5$ é constante com relação a $x$ , mova $5$ para fora da integral.

$5 \int x (\sqrt{x} - x^{2}) d x$

Etapa 5

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$5 \int x (x^{\frac{1}{2}} - x^{2}) d x$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$5 \int x \cdot x^{\frac{1}{2}} + x (- x^{2}) d x$

Etapa 6.2

Reordene $x$ e $- 1$ .

$5 \int x \cdot x^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot x \cdot x^{2} d x$

Etapa 6.3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$5 \int x^{1} x^{\frac{1}{2}} - 1 x \cdot x^{2} d x$

Etapa 6.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$5 \int x^{1 + \frac{1}{2}} - 1 x \cdot x^{2} d x$

Etapa 6.5

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$5 \int x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} - 1 x \cdot x^{2} d x$

Etapa 6.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$5 \int x^{\frac{2 + 1}{2}} - 1 x \cdot x^{2} d x$

Etapa 6.7

Some $2$ e $1$ .

$5 \int x^{\frac{3}{2}} - 1 x \cdot x^{2} d x$

Etapa 6.8

Fatore o negativo.

$5 \int x^{\frac{3}{2}} - (x \cdot x^{2}) d x$

Etapa 6.9

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$5 \int x^{\frac{3}{2}} - (x^{1} x^{2}) d x$

Etapa 6.10

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$5 \int x^{\frac{3}{2}} - x^{1 + 2} d x$

Etapa 6.11

Some $1$ e $2$ .

$5 \int x^{\frac{3}{2}} - x^{3} d x$

Etapa 6.12

Reordene $x^{\frac{3}{2}}$ e $- x^{3}$ .

$5 \int - x^{3} + x^{\frac{3}{2}} d x$

Etapa 7

Divida a integral única em várias integrais.

$5 (\int - x^{3} d x + \int x^{\frac{3}{2}} d x)$

Etapa 8

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$5 (- \int x^{3} d x + \int x^{\frac{3}{2}} d x)$

Etapa 9

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$5 (- (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int x^{\frac{3}{2}} d x)$

Etapa 10

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{\frac{3}{2}}$ com relação a $x$ é $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$5 (- (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C)$

Etapa 11

Simplifique.

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Etapa 11.1

Simplifique.

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Etapa 11.1.1

Combine $\frac{1}{4}$ e $x^{4}$ .

$5 (- (\frac{x^{4}}{4} + C) + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C)$

Etapa 11.1.2

Combine $\frac{2}{5}$ e $x^{\frac{5}{2}}$ .

$5 (- (\frac{x^{4}}{4} + C) + \frac{2 x^{\frac{5}{2}}}{5} + C)$

Etapa 11.2

Simplifique.

$5 (- \frac{1}{4} x^{4} + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}) + C$

Etapa 12

A resposta é a primitiva da função $f (x) = 5 x (\sqrt{x} - x^{2})$ .

$F (x) =$ $5 (- \frac{1}{4} x^{4} + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}) + C$