Cálculo Exemplos

$f (x) = 1 - \sin (4 x)$

Etapa 1

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 2

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int 1 - \sin (4 x) d x$

Etapa 3

Divida a integral única em várias integrais.

$\int d x + \int - \sin (4 x) d x$

Etapa 4

Aplique a regra da constante.

$x + C + \int - \sin (4 x) d x$

Etapa 5

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$x + C - \int \sin (4 x) d x$

Etapa 6

Deixe $u = 4 x$ . Depois, $d u = 4 d x$ , então, $\frac{1}{4} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 6.1

Deixe $u = 4 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 6.1.1

Diferencie $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Etapa 6.1.2

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 6.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Etapa 6.1.4

Multiplique $4$ por $1$ .

$4$

Etapa 6.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$x + C - \int \sin (u) \frac{1}{4} d u$

Etapa 7

Combine $\sin (u)$ e $\frac{1}{4}$ .

$x + C - \int \frac{\sin (u)}{4} d u$

Etapa 8

Como $\frac{1}{4}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{4}$ para fora da integral.

$x + C - (\frac{1}{4} \int \sin (u) d u)$

Etapa 9

A integral de $\sin (u)$ com relação a $u$ é $- \cos (u)$ .

$x + C - \frac{1}{4} (- \cos (u) + C)$

Etapa 10

Simplifique.

$x + \frac{\cos (u)}{4} + C$

Etapa 11

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $4 x$ .

$x + \frac{\cos (4 x)}{4} + C$

Etapa 12

Reordene os termos.

$x + \frac{1}{4} \cos (4 x) + C$

Etapa 13

A resposta é a primitiva da função $f (x) = 1 - \sin (4 x)$ .

$F (x) =$ $x + \frac{1}{4} \cos (4 x) + C$