Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{1} \ln (1 - x) d x$

Etapa 1

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = \ln (1 - x)$ e $d v = 1$ .

$\ln (1 - x) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x (- \frac{1}{1 - x}) d x$

Etapa 2

Combine $x$ e $\frac{1}{1 - x}$ .

$\ln (1 - x) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} - \frac{x}{1 - x} d x$

Etapa 3

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\ln (1 - x) x]_{0}^{1} - - \int_{0}^{1} \frac{x}{1 - x} d x$

Etapa 4

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.1

Simplifique.

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Etapa 4.1.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\ln (1 - x) x]_{0}^{1} + 1 \int_{0}^{1} \frac{x}{1 - x} d x$

Etapa 4.1.2

Multiplique $\int_{0}^{1} \frac{x}{1 - x} d x$ por $1$ .

$\ln (1 - x) x]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} \frac{x}{1 - x} d x$

Etapa 4.2

Reordene $1$ e $- x$ .

$\ln (1 - x) x]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} \frac{x}{- x + 1} d x$

Etapa 5

Divida $x$ por $- x + 1$ .

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Etapa 5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$1$

$x$

$0$

Etapa 5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $- x$ .

				-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$

Etapa 5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
				+	$x$	-	$1$

Etapa 5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x - 1$ .

				-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
				-	$x$	+	$1$

Etapa 5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				-	$1$
-	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
				-	$x$	+	$1$
						+	$1$

Etapa 5.6

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$\ln (1 - x) x]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - 1 + \frac{1}{- x + 1} d x$

Etapa 6

Divida a integral única em várias integrais.

$\ln (1 - x) x]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} - 1 d x + \int_{0}^{1} \frac{1}{- x + 1} d x$

Etapa 7

Aplique a regra da constante.

$\ln (1 - x) x]_{0}^{1} + - x]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} \frac{1}{- x + 1} d x$

Etapa 8

Deixe $u = - x + 1$ . Depois, $d u = - d x$ , então, $- d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 8.1

Deixe $u = - x + 1$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 8.1.1

Reescreva.

$\frac{- 1}{1}$

Etapa 8.1.2

Divida $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Etapa 8.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = - x + 1$ .

$u_{lower} = - 0 + 1$

Etapa 8.3

Simplifique.

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Etapa 8.3.1

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Etapa 8.3.2

Some $0$ e $1$ .

$u_{lower} = 1$

Etapa 8.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = - x + 1$ .

$u_{upper} = - 1 \cdot 1 + 1$

Etapa 8.5

Simplifique.

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Etapa 8.5.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$u_{upper} = - 1 + 1$

Etapa 8.5.2

Some $- 1$ e $1$ .

$u_{upper} = 0$

Etapa 8.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

Etapa 8.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\ln (1 - x) x]_{0}^{1} + - x]_{0}^{1} + \int_{1}^{0} \frac{- 1}{u} d u$

Etapa 9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\ln (1 - x) x]_{0}^{1} + - x]_{0}^{1} + \int_{1}^{0} - \frac{1}{u} d u$

Etapa 10

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\ln (1 - x) x]_{0}^{1} + - x]_{0}^{1} - \int_{1}^{0} \frac{1}{u} d u$

Etapa 11

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\ln (1 - x) x]_{0}^{1} + - x]_{0}^{1} - (\ln (| u |)]_{1}^{0})$

Etapa 12

Combine $\ln (1 - x) x]_{0}^{1}$ e $- x]_{0}^{1}$ .

$\ln (1 - x) x - x]_{0}^{1} - (\ln (| u |)]_{1}^{0})$

Etapa 13

Substitua e simplifique.

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Etapa 13.1

Avalie $\ln (1 - x) x - x$ em $1$ e em $0$ .

$(\ln (1 - 1 \cdot 1) \cdot 1 - 1 \cdot 1) - (\ln (1 - 0) \cdot 0 - 0) - (\ln (| u |)]_{1}^{0})$

Etapa 13.2

Avalie $\ln (| u |)$ em $0$ e em $1$ .

$(\ln (1 - 1 \cdot 1) \cdot 1 - 1 \cdot 1) - (\ln (1 - 0) \cdot 0 - 0) - ((\ln (| 0 |)) - \ln (| 1 |))$

Etapa 13.3

Simplifique.

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Etapa 13.3.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\ln (1 - 1) \cdot 1 - 1 \cdot 1 - (\ln (1 - 0) \cdot 0 - 0) - ((\ln (| 0 |)) - \ln (| 1 |))$

Etapa 13.3.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$\ln (0) \cdot 1 - 1 \cdot 1 - (\ln (1 - 0) \cdot 0 - 0) - ((\ln (| 0 |)) - \ln (| 1 |))$

Etapa 13.3.3

O logaritmo natural de zero é indefinido.

Indefinido

$\ln (0) \cdot 1 - 1 \cdot 1 - (\ln (1 - 0) \cdot 0 - 0) - ((\ln (| 0 |)) - \ln (| 1 |))$

Etapa 13.4

O logaritmo natural de zero é indefinido.

Indefinido

$\ln (0) \cdot 1 - 1 \cdot 1 - (\ln (1 - 0) \cdot 0 - 0) - ((\ln (| 0 |)) - \ln (| 1 |))$

Etapa 14

O logaritmo natural de zero é indefinido.

Indefinido