Cálculo Exemplos

$f (x) = \arctan (x^{2})$

Etapa 1

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \arctan (x)$ e $g (x) = x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.1.1.2

A derivada de $\arctan (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.1.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$\frac{1}{1 + {(x^{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{1 + x^{2 \cdot 2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.1.2.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{1}{1 + x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{1}{1 + x^{4}} (2 x)$

Etapa 1.1.2.3

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.1

Combine $2$ e $\frac{1}{1 + x^{4}}$ .

$\frac{2}{1 + x^{4}} x$

Etapa 1.1.2.3.2

Combine $\frac{2}{1 + x^{4}}$ e $x$ .

$\frac{2 x}{1 + x^{4}}$

Etapa 1.1.2.3.3

Reordene os termos.

$f' (x) = \frac{2 x}{x^{4} + 1}$

Etapa 1.2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{2 x}{x^{4} + 1}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{4} + 1}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\frac{x}{x^{4} + 1}]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = x^{4} + 1$ .

$2 \frac{(x^{4} + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.2.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \frac{(x^{4} + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.2.3.2

Multiplique $x^{4} + 1$ por $1$ .

$2 \frac{x^{4} + 1 - x \frac{d}{d x} [x^{4} + 1]}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.2.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$2 \frac{x^{4} + 1 - x (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.2.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$2 \frac{x^{4} + 1 - x (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [1])}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.2.3.5

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 \frac{x^{4} + 1 - x (4 x^{3} + 0)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.2.3.6

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.6.1

Some $4 x^{3}$ e $0$ .

$2 \frac{x^{4} + 1 - x (4 x^{3})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.2.3.6.2

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$2 \frac{x^{4} + 1 - 4 x \cdot x^{3}}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.2.4

Multiplique $x$ por $x^{3}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1

Mova $x^{3}$ .

$2 \frac{x^{4} + 1 - 4 (x^{3} x)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.2.4.2

Multiplique $x^{3}$ por $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$2 \frac{x^{4} + 1 - 4 (x^{3} x^{1})}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.2.4.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 \frac{x^{4} + 1 - 4 x^{3 + 1}}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.2.4.3

Some $3$ e $1$ .

$2 \frac{x^{4} + 1 - 4 x^{4}}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.2.5

Subtraia $4 x^{4}$ de $x^{4}$ .

$2 \frac{- 3 x^{4} + 1}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.2.6

Combine $2$ e $\frac{- 3 x^{4} + 1}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$ .

$\frac{2 (- 3 x^{4} + 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.2.7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{2 (- 3 x^{4}) + 2 \cdot 1}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.2.7.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.7.2.1

Multiplique $- 3$ por $2$ .

$\frac{- 6 x^{4} + 2 \cdot 1}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.2.7.2.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{- 6 x^{4} + 2}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.2.7.3

Fatore $2$ de $- 6 x^{4} + 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.7.3.1

Fatore $2$ de $- 6 x^{4}$ .

$\frac{2 (- 3 x^{4}) + 2}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.2.7.3.2

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 (- 3 x^{4}) + 2 (1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.2.7.3.3

Fatore $2$ de $2 (- 3 x^{4}) + 2 (1)$ .

$\frac{2 (- 3 x^{4} + 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.2.7.4

Fatore $- 1$ de $- 3 x^{4}$ .

$\frac{2 (- (3 x^{4}) + 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.2.7.5

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$\frac{2 (- (3 x^{4}) - 1 (- 1))}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.2.7.6

Fatore $- 1$ de $- (3 x^{4}) - 1 (- 1)$ .

$\frac{2 (- (3 x^{4} - 1))}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.2.7.7

Reescreva $- (3 x^{4} - 1)$ como $- 1 (3 x^{4} - 1)$ .

$\frac{2 (- 1 (3 x^{4} - 1))}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.2.7.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = - \frac{2 (3 x^{4} - 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- \frac{2 (3 x^{4} - 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$ .

$- \frac{2 (3 x^{4} - 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- \frac{2 (3 x^{4} - 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$- \frac{2 (3 x^{4} - 1)}{{(x^{4} + 1)}^{2}} = 0$

Etapa 2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$2 (3 x^{4} - 1) = 0$

Etapa 2.3

Resolva a equação para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Divida cada termo em $2 (3 x^{4} - 1) = 0$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.1

Divida cada termo em $2 (3 x^{4} - 1) = 0$ por $2$ .

$\frac{2 (3 x^{4} - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 2.3.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (3 x^{4} - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 2.3.1.2.1.2

Divida $3 x^{4} - 1$ por $1$ .

$3 x^{4} - 1 = \frac{0}{2}$

Etapa 2.3.1.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1.3.1

Divida $0$ por $2$ .

$3 x^{4} - 1 = 0$

Etapa 2.3.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$3 x^{4} = 1$

Etapa 2.3.3

Divida cada termo em $3 x^{4} = 1$ por $3$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1

Divida cada termo em $3 x^{4} = 1$ por $3$ .

$\frac{3 x^{4}}{3} = \frac{1}{3}$

Etapa 2.3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x^{4}}{3} = \frac{1}{3}$

Etapa 2.3.3.2.1.2

Divida $x^{4}$ por $1$ .

$x^{4} = \frac{1}{3}$

Etapa 2.3.4

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt[4]{\frac{1}{3}}$

Etapa 2.3.5

Simplifique $\pm \sqrt[4]{\frac{1}{3}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.1

Reescreva $\sqrt[4]{\frac{1}{3}}$ como $\frac{\sqrt[4]{1}}{\sqrt[4]{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{1}}{\sqrt[4]{3}}$

Etapa 2.3.5.2

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt[4]{3}}$

Etapa 2.3.5.3

Multiplique $\frac{1}{\sqrt[4]{3}}$ por $\frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{3}}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt[4]{3}} \cdot \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{3}}$

Etapa 2.3.5.4

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.4.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt[4]{3}}$ por $\frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{3}}$ .

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{\sqrt[4]{3} {\sqrt[4]{3}}^{3}}$

Etapa 2.3.5.4.2

Eleve $\sqrt[4]{3}$ à potência de $1$ .

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{1} {\sqrt[4]{3}}^{3}}$

Etapa 2.3.5.4.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{1 + 3}}$

Etapa 2.3.5.4.4

Some $1$ e $3$ .

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{\sqrt[4]{3}}^{4}}$

Etapa 2.3.5.4.5

Reescreva ${\sqrt[4]{3}}^{4}$ como $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.4.5.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[4]{3}$ como $3^{\frac{1}{4}}$ .

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{{(3^{\frac{1}{4}})}^{4}}$

Etapa 2.3.5.4.5.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{3^{\frac{1}{4} \cdot 4}}$

Etapa 2.3.5.4.5.3

Combine $\frac{1}{4}$ e $4$ .

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{3^{\frac{4}{4}}}$

Etapa 2.3.5.4.5.4

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.4.5.4.1

Cancele o fator comum.

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{3^{\frac{4}{4}}}$

Etapa 2.3.5.4.5.4.2

Reescreva a expressão.

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{3^{1}}$

Etapa 2.3.5.4.5.5

Avalie o expoente.

$x = \pm \frac{{\sqrt[4]{3}}^{3}}{3}$

Etapa 2.3.5.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.5.1

Reescreva ${\sqrt[4]{3}}^{3}$ como $\sqrt[4]{3^{3}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{3^{3}}}{3}$

Etapa 2.3.5.5.2

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$x = \pm \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$

Etapa 2.3.6

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.6.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$

Etapa 2.3.6.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$

Etapa 2.3.6.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \frac{\sqrt[4]{27}}{3}, - \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$

Etapa 3

Encontre os pontos em que a segunda derivada é $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Substitua $\frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ em $f (x) = \arctan (x^{2})$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ na expressão.

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan ({(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{2})$

Etapa 3.1.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.1

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{{\sqrt[4]{27}}^{2}}{3^{2}})$

Etapa 3.1.2.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.2.1

Reescreva ${\sqrt[4]{27}}^{2}$ como $\sqrt{27}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.2.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[4]{27}$ como $27^{\frac{1}{4}}$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{{(27^{\frac{1}{4}})}^{2}}{3^{2}})$

Etapa 3.1.2.2.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{27^{\frac{1}{4} \cdot 2}}{3^{2}})$

Etapa 3.1.2.2.1.3

Combine $\frac{1}{4}$ e $2$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{27^{\frac{2}{4}}}{3^{2}})$

Etapa 3.1.2.2.1.4

Cancele o fator comum de $2$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.2.1.4.1

Fatore $2$ de $2$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{27^{\frac{2 (1)}{4}}}{3^{2}})$

Etapa 3.1.2.2.1.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.2.1.4.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{27^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}}{3^{2}})$

Etapa 3.1.2.2.1.4.2.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{27^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}}{3^{2}})$

Etapa 3.1.2.2.1.4.2.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{27^{\frac{1}{2}}}{3^{2}})$

Etapa 3.1.2.2.1.5

Reescreva $27^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{27}$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{\sqrt{27}}{3^{2}})$

Etapa 3.1.2.2.2

Reescreva $27$ como $3^{2} \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.2.2.1

Fatore $9$ de $27$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{\sqrt{9 (3)}}{3^{2}})$

Etapa 3.1.2.2.2.2

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{\sqrt{3^{2} \cdot 3}}{3^{2}})$

Etapa 3.1.2.2.3

Elimine os termos abaixo do radical.

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{3 \sqrt{3}}{3^{2}})$

Etapa 3.1.2.3

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.3.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{3 \sqrt{3}}{9})$

Etapa 3.1.2.3.2

Cancele o fator comum de $3$ e $9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.3.2.1

Fatore $3$ de $3 \sqrt{3}$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{3 (\sqrt{3})}{9})$

Etapa 3.1.2.3.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1.2.3.2.2.1

Fatore $3$ de $9$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{3 \sqrt{3}}{3 \cdot 3})$

Etapa 3.1.2.3.2.2.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{3 \sqrt{3}}{3 \cdot 3})$

Etapa 3.1.2.3.2.2.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{\sqrt{3}}{3})$

Etapa 3.1.2.4

O valor exato de $\arctan (\frac{\sqrt{3}}{3})$ é $\frac{π}{6}$ .

$f (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \frac{π}{6}$

Etapa 3.1.2.5

A resposta final é $\frac{π}{6}$ .

$\frac{π}{6}$

Etapa 3.2

O ponto encontrado ao substituir $\frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ em $f (x) = \arctan (x^{2})$ é $(\frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \frac{π}{6})$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(\frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \frac{π}{6})$

Etapa 3.3

Substitua $- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ em $f (x) = \arctan (x^{2})$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Substitua a variável $x$ por $- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ na expressão.

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan ({(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{2})$

Etapa 3.3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt[4]{27}}{3})}^{2})$

Etapa 3.3.2.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan ({(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt[4]{27}}^{2}}{3^{2}}))$

Etapa 3.3.2.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.2.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (1 (\frac{{\sqrt[4]{27}}^{2}}{3^{2}}))$

Etapa 3.3.2.2.2

Multiplique $\frac{{\sqrt[4]{27}}^{2}}{3^{2}}$ por $1$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{{\sqrt[4]{27}}^{2}}{3^{2}})$

Etapa 3.3.2.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.3.1

Reescreva ${\sqrt[4]{27}}^{2}$ como $\sqrt{27}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.3.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[4]{27}$ como $27^{\frac{1}{4}}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{{(27^{\frac{1}{4}})}^{2}}{3^{2}})$

Etapa 3.3.2.3.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{27^{\frac{1}{4} \cdot 2}}{3^{2}})$

Etapa 3.3.2.3.1.3

Combine $\frac{1}{4}$ e $2$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{27^{\frac{2}{4}}}{3^{2}})$

Etapa 3.3.2.3.1.4

Cancele o fator comum de $2$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.3.1.4.1

Fatore $2$ de $2$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{27^{\frac{2 (1)}{4}}}{3^{2}})$

Etapa 3.3.2.3.1.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.3.1.4.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{27^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}}{3^{2}})$

Etapa 3.3.2.3.1.4.2.2

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{27^{\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}}{3^{2}})$

Etapa 3.3.2.3.1.4.2.3

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{27^{\frac{1}{2}}}{3^{2}})$

Etapa 3.3.2.3.1.5

Reescreva $27^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{27}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{\sqrt{27}}{3^{2}})$

Etapa 3.3.2.3.2

Reescreva $27$ como $3^{2} \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.3.2.1

Fatore $9$ de $27$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{\sqrt{9 (3)}}{3^{2}})$

Etapa 3.3.2.3.2.2

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{\sqrt{3^{2} \cdot 3}}{3^{2}})$

Etapa 3.3.2.3.3

Elimine os termos abaixo do radical.

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{3 \sqrt{3}}{3^{2}})$

Etapa 3.3.2.4

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.4.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{3 \sqrt{3}}{9})$

Etapa 3.3.2.4.2

Cancele o fator comum de $3$ e $9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.4.2.1

Fatore $3$ de $3 \sqrt{3}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{3 (\sqrt{3})}{9})$

Etapa 3.3.2.4.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.4.2.2.1

Fatore $3$ de $9$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{3 \sqrt{3}}{3 \cdot 3})$

Etapa 3.3.2.4.2.2.2

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{3 \sqrt{3}}{3 \cdot 3})$

Etapa 3.3.2.4.2.2.3

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \arctan (\frac{\sqrt{3}}{3})$

Etapa 3.3.2.5

O valor exato de $\arctan (\frac{\sqrt{3}}{3})$ é $\frac{π}{6}$ .

$f (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) = \frac{π}{6}$

Etapa 3.3.2.6

A resposta final é $\frac{π}{6}$ .

$\frac{π}{6}$

Etapa 3.4

O ponto encontrado ao substituir $- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}$ em $f (x) = \arctan (x^{2})$ é $(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \frac{π}{6})$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \frac{π}{6})$

Etapa 3.5

Determine os pontos que poderiam ser de inflexão.

$(\frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \frac{π}{6}), (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \frac{π}{6})$

Etapa 4

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos em torno dos pontos que poderiam ser pontos de inflexão.

$(- \infty, - \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) \cup (- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \frac{\sqrt[4]{27}}{3}) \cup (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \infty)$

Etapa 5

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, - \frac{\sqrt[4]{27}}{3})$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $- 0.85983568$ na expressão.

$f'' (- 0.85983568) = - \frac{2 (3 {(- 0.85983568)}^{4} - 1)}{{({(- 0.85983568)}^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Eleve $- 0.85983568$ à potência de $4$ .

$f'' (- 0.85983568) = - \frac{2 (3 \cdot 0.54659022 - 1)}{{({(- 0.85983568)}^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique $3$ por $0.54659022$ .

$f'' (- 0.85983568) = - \frac{2 (1.63977068 - 1)}{{({(- 0.85983568)}^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.2.1.3

Subtraia $1$ de $1.63977068$ .

$f'' (- 0.85983568) = - \frac{2 \cdot 0.63977068}{{({(- 0.85983568)}^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 5.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Eleve $- 0.85983568$ à potência de $4$ .

$f'' (- 0.85983568) = - \frac{2 \cdot 0.63977068}{{(0.54659022 + 1)}^{2}}$

Etapa 5.2.2.2

Some $0.54659022$ e $1$ .

$f'' (- 0.85983568) = - \frac{2 \cdot 0.63977068}{{1.54659022}^{2}}$

Etapa 5.2.2.3

Eleve $1.54659022$ à potência de $2$ .

$f'' (- 0.85983568) = - \frac{2 \cdot 0.63977068}{2.39194133}$

Etapa 5.2.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1

Multiplique $2$ por $0.63977068$ .

$f'' (- 0.85983568) = - \frac{1.27954136}{2.39194133}$

Etapa 5.2.3.2

Divida $1.27954136$ por $2.39194133$ .

$f'' (- 0.85983568) = - 1 \cdot 0.53493843$

Etapa 5.2.3.3

Multiplique $- 1$ por $0.53493843$ .

$f'' (- 0.85983568) = - 0.53493843$

Etapa 5.2.4

A resposta final é $- 0.53493843$ .

$- 0.53493843$

Etapa 5.3

Em $- 0.85983568$ , a segunda derivada é $- 0.53493843$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(- \infty, - \frac{\sqrt[4]{27}}{3})$ .

Decréscimo em $(- \infty, - \frac{\sqrt[4]{27}}{3})$ , pois $f'' (x) < 0$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \frac{\sqrt[4]{27}}{3})$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f'' (0) = - \frac{2 (3 {(0)}^{4} - 1)}{{({(0)}^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f'' (0) = - \frac{2 (3 \cdot 0 - 1)}{{(0^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $3$ por $0$ .

$f'' (0) = - \frac{2 (0 - 1)}{{(0^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 6.2.1.3

Subtraia $1$ de $0$ .

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot - 1}{{(0^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 6.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot - 1}{{(0 + 1)}^{2}}$

Etapa 6.2.2.2

Some $0$ e $1$ .

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot - 1}{1^{2}}$

Etapa 6.2.2.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$f'' (0) = - \frac{2 \cdot - 1}{1}$

Etapa 6.2.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.3.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (0) = - \frac{- 2}{1}$

Etapa 6.2.3.2

Divida $- 2$ por $1$ .

$f'' (0) = 2$

Etapa 6.2.3.3

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$f'' (0) = 2$

Etapa 6.2.4

A resposta final é $2$ .

$2$

Etapa 6.3

Em $0$ , a segunda derivada é $2$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \frac{\sqrt[4]{27}}{3})$ .

Acréscimo em $(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \frac{\sqrt[4]{27}}{3})$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(\frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \infty)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $0.85983568$ na expressão.

$f'' (0.85983568) = - \frac{2 (3 {(0.85983568)}^{4} - 1)}{{({(0.85983568)}^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1

Eleve $0.85983568$ à potência de $4$ .

$f'' (0.85983568) = - \frac{2 (3 \cdot 0.54659022 - 1)}{{({0.85983568}^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 7.2.1.2

Multiplique $3$ por $0.54659022$ .

$f'' (0.85983568) = - \frac{2 (1.63977068 - 1)}{{({0.85983568}^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 7.2.1.3

Subtraia $1$ de $1.63977068$ .

$f'' (0.85983568) = - \frac{2 \cdot 0.63977068}{{({0.85983568}^{4} + 1)}^{2}}$

Etapa 7.2.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.2.1

Eleve $0.85983568$ à potência de $4$ .

$f'' (0.85983568) = - \frac{2 \cdot 0.63977068}{{(0.54659022 + 1)}^{2}}$

Etapa 7.2.2.2

Some $0.54659022$ e $1$ .

$f'' (0.85983568) = - \frac{2 \cdot 0.63977068}{{1.54659022}^{2}}$

Etapa 7.2.2.3

Eleve $1.54659022$ à potência de $2$ .

$f'' (0.85983568) = - \frac{2 \cdot 0.63977068}{2.39194133}$

Etapa 7.2.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.3.1

Multiplique $2$ por $0.63977068$ .

$f'' (0.85983568) = - \frac{1.27954136}{2.39194133}$

Etapa 7.2.3.2

Divida $1.27954136$ por $2.39194133$ .

$f'' (0.85983568) = - 1 \cdot 0.53493843$

Etapa 7.2.3.3

Multiplique $- 1$ por $0.53493843$ .

$f'' (0.85983568) = - 0.53493843$

Etapa 7.2.4

A resposta final é $- 0.53493843$ .

$- 0.53493843$

Etapa 7.3

Em $0.85983568$ , a segunda derivada é $- 0.53493843$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(\frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \infty)$ .

Decréscimo em $(\frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \infty)$ , pois $f'' (x) < 0$

Etapa 8

O ponto de inflexão é um ponto em uma curva em que a concavidade muda do sinal de adição para o de subtração ou vice-versa. Neste caso, os pontos de inflexão são $(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \frac{π}{6}), (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \frac{π}{6})$ .

$(- \frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \frac{π}{6}), (\frac{\sqrt[4]{27}}{3}, \frac{π}{6})$

Etapa 9