Cálculo Exemplos

$\int_{3}^{6} \frac{1}{\sqrt{6 x - x^{2}}} d x$

Etapa 1

Fatore $x$ de $6 x - x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Fatore $x$ de $6 x$ .

$\int_{3}^{6} \frac{1}{\sqrt{x \cdot 6 - x^{2}}} d x$

Etapa 1.2

Fatore $x$ de $- x^{2}$ .

$\int_{3}^{6} \frac{1}{\sqrt{x \cdot 6 + x (- x)}} d x$

Etapa 1.3

Fatore $x$ de $x \cdot 6 + x (- x)$ .

$\int_{3}^{6} \frac{1}{\sqrt{x (6 - x)}} d x$

Etapa 2

Complete o quadrado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x \cdot 6 + x (- x)$

Etapa 2.1.2

Mova $6$ para a esquerda de $x$ .

$6 \cdot x + x (- x)$

Etapa 2.1.3

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$6 \cdot x - x \cdot x$

Etapa 2.1.4

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.4.1

Mova $x$ .

$6 x - (x \cdot x)$

Etapa 2.1.4.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$6 x - x^{2}$

Etapa 2.1.5

Reordene $6 x$ e $- x^{2}$ .

$- x^{2} + 6 x$

Etapa 2.2

Use a forma $a x^{2} + b x + c$ para encontrar os valores de $a$ , $b$ e $c$ .

$a = - 1$

$b = 6$

$c = 0$

Etapa 2.3

Considere a forma de vértice de uma parábola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Etapa 2.4

Encontre o valor de $d$ usando a fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Substitua os valores de $a$ e $b$ na fórmula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{6}{2 \cdot - 1}$

Etapa 2.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1

Cancele o fator comum de $6$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1.1

Fatore $2$ de $6$ .

$d = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot - 1}$

Etapa 2.4.2.1.2

Mova o número negativo do denominador de $\frac{3}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 3$

Etapa 2.4.2.2

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$d = - 3$

Etapa 2.5

Encontre o valor de $e$ usando a fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.1

Substitua os valores de $c$ , $b$ e $a$ na fórmula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{6^{2}}{4 \cdot - 1}$

Etapa 2.5.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.5.2.1.1

Eleve $6$ à potência de $2$ .

$e = 0 - \frac{36}{4 \cdot - 1}$

Etapa 2.5.2.1.2

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$e = 0 - \frac{36}{- 4}$

Etapa 2.5.2.1.3

Divida $36$ por $- 4$ .

$e = 0 - - 9$

Etapa 2.5.2.1.4

Multiplique $- 1$ por $- 9$ .

$e = 0 + 9$

Etapa 2.5.2.2

Some $0$ e $9$ .

$e = 9$

Etapa 2.6

Substitua os valores de $a$ , $d$ e $e$ na forma do vértice $- {(x - 3)}^{2} + 9$ .

$\int_{3}^{6} \frac{1}{\sqrt{- {(x - 3)}^{2} + 9}} d x$

Etapa 3

Deixe $u = x - 3$ . Depois, $d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 3.1

Deixe $u = x - 3$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 3.1.1

Diferencie $x - 3$ .

$\frac{d}{d x} [x - 3]$

Etapa 3.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 3.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Etapa 3.1.4

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 3.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 3.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = x - 3$ .

$u_{lower} = 3 - 3$

Etapa 3.3

Subtraia $3$ de $3$ .

$u_{lower} = 0$

Etapa 3.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = x - 3$ .

$u_{upper} = 6 - 3$

Etapa 3.5

Subtraia $3$ de $6$ .

$u_{upper} = 3$

Etapa 3.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 3$

Etapa 3.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{0}^{3} \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + 9}} d u$

Etapa 4

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.1

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$\int_{0}^{3} \frac{1}{\sqrt{- u^{2} + 3^{2}}} d u$

Etapa 4.2

Reordene $- u^{2}$ e $3^{2}$ .

$\int_{0}^{3} \frac{1}{\sqrt{3^{2} - u^{2}}} d u$

Etapa 5

A integral de $\frac{1}{\sqrt{3^{2} - u^{2}}}$ com relação a $u$ é $\arcsin (\frac{u}{3})$

$\arcsin (\frac{u}{3})]_{0}^{3}$

Etapa 6

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Avalie $\arcsin (\frac{u}{3})$ em $3$ e em $0$ .

$(\arcsin (\frac{3}{3})) - \arcsin (\frac{0}{3})$

Etapa 6.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\arcsin (\frac{3}{3}) - \arcsin (\frac{0}{3})$

Etapa 6.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\arcsin (1) - \arcsin (\frac{0}{3})$

Etapa 6.2.2

Cancele o fator comum de $0$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.1

Fatore $3$ de $0$ .

$\arcsin (1) - \arcsin (\frac{3 (0)}{3})$

Etapa 6.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.2.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$\arcsin (1) - \arcsin (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Etapa 6.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\arcsin (1) - \arcsin (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Etapa 6.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\arcsin (1) - \arcsin (\frac{0}{1})$

Etapa 6.2.2.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$\arcsin (1) - \arcsin (0)$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1

O valor exato de $\arcsin (1)$ é $\frac{π}{2}$ .

$\frac{π}{2} - \arcsin (0)$

Etapa 7.1.2

O valor exato de $\arcsin (0)$ é $0$ .

$\frac{π}{2} - 0$

Etapa 7.1.3

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$\frac{π}{2} + 0$

Etapa 7.2

Some $\frac{π}{2}$ e $0$ .

$\frac{π}{2}$

Etapa 8

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{π}{2}$

Forma decimal:

$1.57079632 \dots$

Etapa 9