Cálculo Exemplos

$\frac{2 x^{2} + 5}{x^{2} + 1}$

Etapa 1

Escreva $\frac{2 x^{2} + 5}{x^{2} + 1}$ como uma função.

$f (x) = \frac{2 x^{2} + 5}{x^{2} + 1}$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{2 x^{2} + 5}{x^{2} + 1} d x$

Etapa 4

Divida $2 x^{2} + 5$ por $x^{2} + 1$ .

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Etapa 4.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x^{2}$

$0 x$

$1$

$2 x^{2}$

$0 x$

$5$

Etapa 4.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $2 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x^{2}$ .

							$2$
	$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$

Etapa 4.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

						$2$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
					+	$2 x^{2}$	+	$0$	+	$2$

Etapa 4.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $2 x^{2} + 0 + 2$ .

						$2$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
					-	$2 x^{2}$	-	$0$	-	$2$

Etapa 4.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

						$2$
$x^{2}$	+	$0 x$	+	$1$		$2 x^{2}$	+	$0 x$	+	$5$
					-	$2 x^{2}$	-	$0$	-	$2$
									+	$3$

Etapa 4.6

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$\int 2 + \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

Etapa 5

Divida a integral única em várias integrais.

$\int 2 d x + \int \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

Etapa 6

Aplique a regra da constante.

$2 x + C + \int \frac{3}{x^{2} + 1} d x$

Etapa 7

Como $3$ é constante com relação a $x$ , mova $3$ para fora da integral.

$2 x + C + 3 \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Etapa 8

Simplifique a expressão.

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Etapa 8.1

Reordene $x^{2}$ e $1$ .

$2 x + C + 3 \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Etapa 8.2

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$2 x + C + 3 \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

Etapa 9

A integral de $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ com relação a $x$ é $\arctan (x) + C$ .

$2 x + C + 3 (\arctan (x) + C)$

Etapa 10

Simplifique.

$2 x + 3 \arctan (x) + C$

Etapa 11

A resposta é a primitiva da função $f (x) = \frac{2 x^{2} + 5}{x^{2} + 1}$ .

$F (x) =$ $2 x + 3 \arctan (x) + C$