Cálculo Exemplos

$\frac{4}{\sqrt{x}} + \frac{3}{x} - 2 e^{x}$

Etapa 1

Escreva $\frac{4}{\sqrt{x}} + \frac{3}{x} - 2 e^{x}$ como uma função.

$f (x) = \frac{4}{\sqrt{x}} + \frac{3}{x} - 2 e^{x}$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{4}{\sqrt{x}} + \frac{3}{x} - 2 e^{x} d x$

Etapa 4

Divida a integral única em várias integrais.

$\int \frac{4}{\sqrt{x}} d x + \int \frac{3}{x} d x + \int - 2 e^{x} d x$

Etapa 5

Como $4$ é constante com relação a $x$ , mova $4$ para fora da integral.

$4 \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x + \int \frac{3}{x} d x + \int - 2 e^{x} d x$

Etapa 6

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$4 \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x + \int \frac{3}{x} d x + \int - 2 e^{x} d x$

Etapa 6.2

Mova $x^{\frac{1}{2}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$4 \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x + \int \frac{3}{x} d x + \int - 2 e^{x} d x$

Etapa 6.3

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Etapa 6.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x + \int \frac{3}{x} d x + \int - 2 e^{x} d x$

Etapa 6.3.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$4 \int x^{\frac{- 1}{2}} d x + \int \frac{3}{x} d x + \int - 2 e^{x} d x$

Etapa 6.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$4 \int x^{- \frac{1}{2}} d x + \int \frac{3}{x} d x + \int - 2 e^{x} d x$

Etapa 7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- \frac{1}{2}}$ com relação a $x$ é $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + \int \frac{3}{x} d x + \int - 2 e^{x} d x$

Etapa 8

Como $3$ é constante com relação a $x$ , mova $3$ para fora da integral.

$4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 3 \int \frac{1}{x} d x + \int - 2 e^{x} d x$

Etapa 9

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 3 (\ln (| x |) + C) + \int - 2 e^{x} d x$

Etapa 10

Como $- 2$ é constante com relação a $x$ , mova $- 2$ para fora da integral.

$4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 3 (\ln (| x |) + C) - 2 \int e^{x} d x$

Etapa 11

A integral de $e^{x}$ com relação a $x$ é $e^{x}$ .

$4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + 3 (\ln (| x |) + C) - 2 (e^{x} + C)$

Etapa 12

Simplifique.

$8 x^{\frac{1}{2}} + 3 \ln (| x |) - 2 e^{x} + C$

Etapa 13

A resposta é a primitiva da função $f (x) = \frac{4}{\sqrt{x}} + \frac{3}{x} - 2 e^{x}$ .

$F (x) =$ $8 x^{\frac{1}{2}} + 3 \ln (| x |) - 2 e^{x} + C$