Cálculo Exemplos

$lim_{x \to - 1} \frac{2 x^{2} + 2 x}{3 \cos (- 1 - x) - 3}$

Etapa 1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to - 1} 2 x^{2} + 2 x}{lim_{x \to - 1} 3 \cos (- 1 - x) - 3}$

Etapa 1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 1$ .

$\frac{lim_{x \to - 1} 2 x^{2} + lim_{x \to - 1} 2 x}{lim_{x \to - 1} 3 \cos (- 1 - x) - 3}$

Etapa 1.2.2

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to - 1} x^{2} + lim_{x \to - 1} 2 x}{lim_{x \to - 1} 3 \cos (- 1 - x) - 3}$

Etapa 1.2.3

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{2 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + lim_{x \to - 1} 2 x}{lim_{x \to - 1} 3 \cos (- 1 - x) - 3}$

Etapa 1.2.4

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{2 {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 2 lim_{x \to - 1} x}{lim_{x \to - 1} 3 \cos (- 1 - x) - 3}$

Etapa 1.2.5

Avalie os limites substituindo $- 1$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 1.2.5.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $- 1$ por $x$ .

$\frac{2 {(- 1)}^{2} + 2 lim_{x \to - 1} x}{lim_{x \to - 1} 3 \cos (- 1 - x) - 3}$

Etapa 1.2.5.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $- 1$ por $x$ .

$\frac{2 {(- 1)}^{2} + 2 \cdot - 1}{lim_{x \to - 1} 3 \cos (- 1 - x) - 3}$

Etapa 1.2.6

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.2.6.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.2.6.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$\frac{2 \cdot 1 + 2 \cdot - 1}{lim_{x \to - 1} 3 \cos (- 1 - x) - 3}$

Etapa 1.2.6.1.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$\frac{2 + 2 \cdot - 1}{lim_{x \to - 1} 3 \cos (- 1 - x) - 3}$

Etapa 1.2.6.1.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{2 - 2}{lim_{x \to - 1} 3 \cos (- 1 - x) - 3}$

Etapa 1.2.6.2

Subtraia $2$ de $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} 3 \cos (- 1 - x) - 3}$

Etapa 1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.3.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} 3 \cos (- 1 - x) - lim_{x \to - 1} 3}$

Etapa 1.3.2

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{0}{3 lim_{x \to - 1} \cos (- 1 - x) - lim_{x \to - 1} 3}$

Etapa 1.3.3

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{0}{3 \cos (lim_{x \to - 1} - 1 - x) - lim_{x \to - 1} 3}$

Etapa 1.3.4

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 1$ .

$\frac{0}{3 \cos (- lim_{x \to - 1} 1 - lim_{x \to - 1} x) - lim_{x \to - 1} 3}$

Etapa 1.3.5

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- 1$ .

$\frac{0}{3 \cos (- 1 \cdot 1 - lim_{x \to - 1} x) - lim_{x \to - 1} 3}$

Etapa 1.3.6

Avalie o limite de $3$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- 1$ .

$\frac{0}{3 \cos (- 1 \cdot 1 - lim_{x \to - 1} x) - 1 \cdot 3}$

Etapa 1.3.7

Simplifique os termos.

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Etapa 1.3.7.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $- 1$ por $x$ .

$\frac{0}{3 \cos (- 1 \cdot 1 + 1) - 1 \cdot 3}$

Etapa 1.3.7.2

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.3.7.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.7.2.1.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{0}{3 \cos (- 1 + 1) - 1 \cdot 3}$

Etapa 1.3.7.2.1.2

Some $- 1$ e $1$ .

$\frac{0}{3 \cos (0) - 1 \cdot 3}$

Etapa 1.3.7.2.1.3

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{0}{3 \cdot 1 - 1 \cdot 3}$

Etapa 1.3.7.2.1.4

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{0}{3 - 1 \cdot 3}$

Etapa 1.3.7.2.1.5

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{0}{3 - 3}$

Etapa 1.3.7.2.2

Subtraia $3$ de $3$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.3.7.2.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.3.7.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.3.8

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to - 1} \frac{2 x^{2} + 2 x}{3 \cos (- 1 - x) - 3} = lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [2 x^{2} + 2 x]}{\frac{d}{d x} [3 \cos (- 1 - x) - 3]}$

Etapa 3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [2 x^{2} + 2 x]}{\frac{d}{d x} [3 \cos (- 1 - x) - 3]}$

Etapa 3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x^{2} + 2 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [3 \cos (- 1 - x) - 3]}$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Etapa 3.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{2}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [3 \cos (- 1 - x) - 3]}$

Etapa 3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 (2 x) + \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [3 \cos (- 1 - x) - 3]}$

Etapa 3.3.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [3 \cos (- 1 - x) - 3]}$

Etapa 3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Etapa 3.4.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 2 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [3 \cos (- 1 - x) - 3]}$

Etapa 3.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 2 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [3 \cos (- 1 - x) - 3]}$

Etapa 3.4.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 2}{\frac{d}{d x} [3 \cos (- 1 - x) - 3]}$

Etapa 3.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 \cos (- 1 - x) - 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 \cos (- 1 - x)] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 2}{\frac{d}{d x} [3 \cos (- 1 - x)] + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Etapa 3.6

Avalie $\frac{d}{d x} [3 \cos (- 1 - x)]$ .

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Etapa 3.6.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 \cos (- 1 - x)$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [\cos (- 1 - x)]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 2}{3 \frac{d}{d x} [\cos (- 1 - x)] + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Etapa 3.6.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = - 1 - x$ .

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Etapa 3.6.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- 1 - x$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 2}{3 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [- 1 - x]) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Etapa 3.6.2.2

A derivada de $\cos (u)$ em relação a $u$ é $- \sin (u)$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 2}{3 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [- 1 - x]) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Etapa 3.6.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- 1 - x$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 2}{3 (- \sin (- 1 - x) \frac{d}{d x} [- 1 - x]) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Etapa 3.6.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 1 - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 2}{3 (- \sin (- 1 - x) (\frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- x])) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Etapa 3.6.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 2}{3 (- \sin (- 1 - x) (0 + \frac{d}{d x} [- x])) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Etapa 3.6.5

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 2}{3 (- \sin (- 1 - x) (0 - \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Etapa 3.6.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 2}{3 (- \sin (- 1 - x) (0 - 1 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Etapa 3.6.7

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 2}{3 (- \sin (- 1 - x) (0 - 1)) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Etapa 3.6.8

Subtraia $1$ de $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 2}{3 (- \sin (- 1 - x) \cdot - 1) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Etapa 3.6.9

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 2}{3 (1 \sin (- 1 - x)) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Etapa 3.6.10

Multiplique $\sin (- 1 - x)$ por $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 2}{3 \sin (- 1 - x) + \frac{d}{d x} [- 3]}$

Etapa 3.7

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 2}{3 \sin (- 1 - x) + 0}$

Etapa 3.8

Some $3 \sin (- 1 - x)$ e $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{4 x + 2}{3 \sin (- 1 - x)}$

Etapa 4

Como a função se aproxima de $- \infty$ a partir da esquerda e de $\infty$ a partir da direita, o limite não existe.

$Não existe$