Cálculo Exemplos

$\sqrt{\frac{x}{y}}$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{\frac{x}{y}}$ como ${(\frac{x}{y})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(\frac{x}{y})}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = \frac{x}{y}$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{x}{y}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{x}{y}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{y})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Etapa 3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{y})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Etapa 4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{y})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Etapa 5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{y})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Etapa 6

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{y})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Etapa 6.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{y})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Etapa 7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{y})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\frac{x}{y}]$

Etapa 8

Como $\frac{1}{y}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x}{y}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} {(\frac{x}{y})}^{- \frac{1}{2}} (\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 9

Combine frações.

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Etapa 9.1

Multiplique $\frac{1}{y}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{y \cdot 2} {(\frac{x}{y})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 9.2

Mova $2$ para a esquerda de $y$ .

$\frac{1}{2 \cdot y} {(\frac{x}{y})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{2 y} {(\frac{x}{y})}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1$

Etapa 11

Multiplique $\frac{1}{2 y}$ por $1$ .

$\frac{1}{2 y} {(\frac{x}{y})}^{- \frac{1}{2}}$

Etapa 12

Simplifique.

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Etapa 12.1

Altere o sinal do expoente reescrevendo a base como seu inverso.

$\frac{1}{2 y} {(\frac{y}{x})}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 12.2

Aplique a regra do produto a $\frac{y}{x}$ .

$\frac{1}{2 y} \cdot \frac{y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 12.3

Combine os termos.

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Etapa 12.3.1

Multiplique $\frac{1}{2 y}$ por $\frac{y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{y^{\frac{1}{2}}}{2 y x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 12.3.2

Mova $y^{\frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{1}{2 y x^{\frac{1}{2}} y^{- \frac{1}{2}}}$

Etapa 12.3.3

Multiplique $y$ por $y^{- \frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 12.3.3.1

Mova $y^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2 (y^{- \frac{1}{2}} y) x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 12.3.3.2

Multiplique $y^{- \frac{1}{2}}$ por $y$ .

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Etapa 12.3.3.2.1

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{2 (y^{- \frac{1}{2}} y^{1}) x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 12.3.3.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{2 y^{- \frac{1}{2} + 1} x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 12.3.3.3

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{1}{2 y^{- \frac{1}{2} + \frac{2}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 12.3.3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2 y^{\frac{- 1 + 2}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 12.3.3.5

Some $- 1$ e $2$ .

$\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 12.4

Reordene os termos.

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}}$