Cálculo Exemplos

${(2 x^{3} + x^{2} - 6 x)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ e $g (x) = 2 x^{3} + x^{2} - 6 x$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x^{3} + x^{2} - 6 x$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [2 x^{3} + x^{2} - 6 x]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + x^{2} - 6 x]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x^{3} + x^{2} - 6 x$ .

$\frac{2}{3} {(2 x^{3} + x^{2} - 6 x)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + x^{2} - 6 x]$

Etapa 2

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} {(2 x^{3} + x^{2} - 6 x)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + x^{2} - 6 x]$

Etapa 3

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} {(2 x^{3} + x^{2} - 6 x)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + x^{2} - 6 x]$

Etapa 4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2}{3} {(2 x^{3} + x^{2} - 6 x)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + x^{2} - 6 x]$

Etapa 5

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{2}{3} {(2 x^{3} + x^{2} - 6 x)}^{\frac{2 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + x^{2} - 6 x]$

Etapa 5.2

Subtraia $3$ de $2$ .

$\frac{2}{3} {(2 x^{3} + x^{2} - 6 x)}^{\frac{- 1}{3}} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + x^{2} - 6 x]$

Etapa 6

Combine frações.

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Etapa 6.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{2}{3} {(2 x^{3} + x^{2} - 6 x)}^{- \frac{1}{3}} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + x^{2} - 6 x]$

Etapa 6.2

Combine $\frac{2}{3}$ e ${(2 x^{3} + x^{2} - 6 x)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{2 {(2 x^{3} + x^{2} - 6 x)}^{- \frac{1}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + x^{2} - 6 x]$

Etapa 6.3

Mova ${(2 x^{3} + x^{2} - 6 x)}^{- \frac{1}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{3 {(2 x^{3} + x^{2} - 6 x)}^{\frac{1}{3}}} \frac{d}{d x} [2 x^{3} + x^{2} - 6 x]$

Etapa 7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x^{3} + x^{2} - 6 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

$\frac{2}{3 {(2 x^{3} + x^{2} - 6 x)}^{\frac{1}{3}}} (\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x])$

Etapa 8

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{3}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{2}{3 {(2 x^{3} + x^{2} - 6 x)}^{\frac{1}{3}}} (2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x])$

Etapa 9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$\frac{2}{3 {(2 x^{3} + x^{2} - 6 x)}^{\frac{1}{3}}} (2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x])$

Etapa 10

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{2}{3 {(2 x^{3} + x^{2} - 6 x)}^{\frac{1}{3}}} (6 x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x])$

Etapa 11

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$\frac{2}{3 {(2 x^{3} + x^{2} - 6 x)}^{\frac{1}{3}}} (6 x^{2} + 2 x + \frac{d}{d x} [- 6 x])$

Etapa 12

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6 x$ em relação a $x$ é $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2}{3 {(2 x^{3} + x^{2} - 6 x)}^{\frac{1}{3}}} (6 x^{2} + 2 x - 6 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 13

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{2}{3 {(2 x^{3} + x^{2} - 6 x)}^{\frac{1}{3}}} (6 x^{2} + 2 x - 6 \cdot 1)$

Etapa 14

Multiplique $- 6$ por $1$ .

$\frac{2}{3 {(2 x^{3} + x^{2} - 6 x)}^{\frac{1}{3}}} (6 x^{2} + 2 x - 6)$

Etapa 15

Simplifique.

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Etapa 15.1

Reordene os fatores de $\frac{2}{3 {(2 x^{3} + x^{2} - 6 x)}^{\frac{1}{3}}} (6 x^{2} + 2 x - 6)$ .

$(6 x^{2} + 2 x - 6) \frac{2}{3 {(2 x^{3} + x^{2} - 6 x)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 15.2

Multiplique $6 x^{2} + 2 x - 6$ por $\frac{2}{3 {(2 x^{3} + x^{2} - 6 x)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{(6 x^{2} + 2 x - 6) \cdot 2}{3 {(2 x^{3} + x^{2} - 6 x)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 15.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 15.3.1

Fatore $2$ de $6 x^{2} + 2 x - 6$ .

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Etapa 15.3.1.1

Fatore $2$ de $6 x^{2}$ .

$\frac{(2 (3 x^{2}) + 2 x - 6) \cdot 2}{3 {(2 x^{3} + x^{2} - 6 x)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 15.3.1.2

Fatore $2$ de $2 x$ .

$\frac{(2 (3 x^{2}) + 2 (x) - 6) \cdot 2}{3 {(2 x^{3} + x^{2} - 6 x)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 15.3.1.3

Fatore $2$ de $- 6$ .

$\frac{(2 (3 x^{2}) + 2 x + 2 \cdot - 3) \cdot 2}{3 {(2 x^{3} + x^{2} - 6 x)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 15.3.1.4

Fatore $2$ de $2 (3 x^{2}) + 2 x$ .

$\frac{(2 (3 x^{2} + x) + 2 \cdot - 3) \cdot 2}{3 {(2 x^{3} + x^{2} - 6 x)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 15.3.1.5

Fatore $2$ de $2 (3 x^{2} + x) + 2 \cdot - 3$ .

$\frac{2 (3 x^{2} + x - 3) \cdot 2}{3 {(2 x^{3} + x^{2} - 6 x)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 15.3.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{4 (3 x^{2} + x - 3)}{3 {(2 x^{3} + x^{2} - 6 x)}^{\frac{1}{3}}}$