Cálculo Exemplos

Let $h (x) = \frac{e^{x}}{x - 1}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x - 1$ .

$\frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x}] - e^{x} \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{(x - 1) e^{x} - e^{x} \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.3

Diferencie.

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Etapa 1.1.3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{(x - 1) e^{x} - e^{x} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{(x - 1) e^{x} - e^{x} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.3

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{(x - 1) e^{x} - e^{x} (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1.3.4.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{(x - 1) e^{x} - e^{x} \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.3.4.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{(x - 1) e^{x} - e^{x}}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.4

Simplifique.

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Etapa 1.1.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{x e^{x} - 1 e^{x} - e^{x}}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.4.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.1.4.2.1

Reescreva $- 1 e^{x}$ como $- e^{x}$ .

$\frac{x e^{x} - e^{x} - e^{x}}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.4.2.2

Subtraia $e^{x}$ de $- e^{x}$ .

$\frac{x e^{x} - 2 e^{x}}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.4.3

Reordene os termos.

$\frac{e^{x} x - 2 e^{x}}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.4.4

Fatore $e^{x}$ de $e^{x} x - 2 e^{x}$ .

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Etapa 1.1.4.4.1

Fatore $e^{x}$ de $e^{x} x$ .

$\frac{e^{x} (x) - 2 e^{x}}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.4.4.2

Fatore $e^{x}$ de $- 2 e^{x}$ .

$\frac{e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 2}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.1.4.4.3

Fatore $e^{x}$ de $e^{x} (x) + e^{x} \cdot - 2$ .

$f' (x) = \frac{e^{x} (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $h (x)$ com relação a $x$ é $\frac{e^{x} (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}}$ .

$\frac{e^{x} (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}}$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $\frac{e^{x} (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}} = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$\frac{e^{x} (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}} = 0$

Etapa 2.2

Defina o numerador como igual a zero.

$e^{x} (x - 2) = 0$

Etapa 2.3

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 2.3.1

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$e^{x} = 0$

$x - 2 = 0$

Etapa 2.3.2

Defina $e^{x}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.3.2.1

Defina $e^{x}$ como igual a $0$ .

$e^{x} = 0$

Etapa 2.3.2.2

Resolva $e^{x} = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.3.2.2.1

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Etapa 2.3.2.2.2

Não é possível resolver a equação, porque $\ln (0)$ é indefinida.

Indefinido

Etapa 2.3.2.2.3

Não há uma solução para $e^{x} = 0$

Nenhuma solução

Etapa 2.3.3

Defina $x - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.3.3.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 2.3.3.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 2.3.4

A solução final são todos os valores que tornam $e^{x} (x - 2) = 0$ verdadeiro.

$x = 2$

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 3.1

Defina o denominador em $\frac{e^{x} (x - 2)}{{(x - 1)}^{2}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

${(x - 1)}^{2} = 0$

Etapa 3.2

Resolva $x$ .

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Etapa 3.2.1

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 3.2.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 4

Avalie $\frac{e^{x}}{x - 1}$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 4.1

Avalie em $x = 2$ .

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Etapa 4.1.1

Substitua $2$ por $x$ .

$\frac{e^{2}}{(2) - 1}$

Etapa 4.1.2

Simplifique.

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Etapa 4.1.2.1

Subtraia $1$ de $2$ .

$\frac{e^{2}}{1}$

Etapa 4.1.2.2

Divida $e^{2}$ por $1$ .

$e^{2}$

Etapa 4.2

Avalie em $x = 1$ .

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Etapa 4.2.1

Substitua $1$ por $x$ .

$\frac{e^{1}}{(1) - 1}$

Etapa 4.2.2

Simplifique.

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Etapa 4.2.2.1

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{e^{1}}{0}$

Etapa 4.2.2.2

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

Etapa 4.3

Liste todos os pontos.

$(2, e^{2})$

Etapa 5