Cálculo Exemplos

$lim_{x \to \infty} {(\frac{x + 1}{x - 1})}^{x}$

Etapa 1

Use as propriedades dos logaritmos para simplificar o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Reescreva ${(\frac{x + 1}{x - 1})}^{x}$ como $e^{\ln ({(\frac{x + 1}{x - 1})}^{x})}$ .

$lim_{x \to \infty} e^{\ln ({(\frac{x + 1}{x - 1})}^{x})}$

Etapa 1.2

Expanda $\ln ({(\frac{x + 1}{x - 1})}^{x})$ movendo $x$ para fora do logaritmo.

$lim_{x \to \infty} e^{x \ln (\frac{x + 1}{x - 1})}$

Etapa 2

Mova o limite para o expoente.

$e^{lim_{x \to \infty} x \ln (\frac{x + 1}{x - 1})}$

Etapa 3

Reescreva $x \ln (\frac{x + 1}{x - 1})$ como $\frac{\ln (\frac{x + 1}{x - 1})}{\frac{1}{x}}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\ln (\frac{x + 1}{x - 1})}{\frac{1}{x}}}$

Etapa 4

Aplique a regra de l'Hôpital.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$e^{\frac{lim_{x \to \infty} \ln (\frac{x + 1}{x - 1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Etapa 4.1.2

Avalie o limite do numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Mova o limite para dentro do logaritmo.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{x + 1}{x - 1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Etapa 4.1.2.2

Divida o numerador e o denominador pela potência mais alta de $x$ no denominador, que é $x$ .

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x} - \frac{1}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Etapa 4.1.2.3

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.3.1

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.3.1.1

Cancele o fator comum.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x} - \frac{1}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Etapa 4.1.2.3.1.2

Reescreva a expressão.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x} - \frac{1}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Etapa 4.1.2.3.2

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.3.2.1

Cancele o fator comum.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x} - \frac{1}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Etapa 4.1.2.3.2.2

Reescreva a expressão.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{1 - \frac{1}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Etapa 4.1.2.3.3

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Etapa 4.1.2.3.4

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Etapa 4.1.2.3.5

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Etapa 4.1.2.4

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x}$ se aproxima de $0$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1 + 0}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Etapa 4.1.2.5

Avalie o limite.

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Etapa 4.1.2.5.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1 + 0}{lim_{x \to \infty} 1 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Etapa 4.1.2.5.2

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1 + 0}{1 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Etapa 4.1.2.6

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x}$ se aproxima de $0$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1 + 0}{1 - 0})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Etapa 4.1.2.7

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1.2.7.1

Some $1$ e $0$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{1 - 0})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Etapa 4.1.2.7.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.7.2.1

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{1 + 0})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Etapa 4.1.2.7.2.2

Some $1$ e $0$ .

$e^{\frac{\ln (\frac{1}{1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Etapa 4.1.2.7.3

Divida $1$ por $1$ .

$e^{\frac{\ln (1)}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Etapa 4.1.2.7.4

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$e^{\frac{0}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Etapa 4.1.3

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x}$ se aproxima de $0$ .

$e^{\frac{0}{0}}$

Etapa 4.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$e^{\frac{0}{0}}$

Etapa 4.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (\frac{x + 1}{x - 1})}{\frac{1}{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{x + 1}{x - 1})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Etapa 4.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 4.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{x + 1}{x - 1})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 4.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \frac{x + 1}{x - 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{x + 1}{x - 1}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x - 1}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 4.3.2.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x - 1}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 4.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{x + 1}{x - 1}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{\frac{x + 1}{x - 1}} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x - 1}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 4.3.3

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{x + 1}{x - 1}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1 \frac{x - 1}{x + 1} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x - 1}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 4.3.4

Multiplique $\frac{x - 1}{x + 1}$ por $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - 1}{x + 1} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{x - 1}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 4.3.5

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x + 1$ e $g (x) = x - 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{(x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1] - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 4.3.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{(x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 4.3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{(x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 4.3.8

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{(x - 1) (1 + 0) - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 4.3.9

Some $1$ e $0$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{(x - 1) \cdot 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 4.3.10

Multiplique $x - 1$ por $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1]}{{(x - 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 4.3.11

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 4.3.12

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(x - 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 4.3.13

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 1) (1 + 0)}{{(x - 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 4.3.14

Some $1$ e $0$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 1) \cdot 1}{{(x - 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 4.3.15

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - 1}{x + 1} \cdot \frac{x - 1 - (x + 1)}{{(x - 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 4.3.16

Multiplique $\frac{x - 1}{x + 1}$ por $\frac{x - 1 - (x + 1)}{{(x - 1)}^{2}}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{(x - 1) (x - 1 - (x + 1))}{(x + 1) {(x - 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 4.3.17

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.3.17.1

Fatore $x - 1$ de $(x + 1) {(x - 1)}^{2}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{(x - 1) (x - 1 - (x + 1))}{(x - 1) (x + 1) (x - 1)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 4.3.17.2

Cancele o fator comum.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{(x - 1) (x - 1 - (x + 1))}{(x - 1) (x + 1) (x - 1)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 4.3.17.3

Reescreva a expressão.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - 1 - (x + 1)}{(x + 1) (x - 1)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 4.3.18

Simplifique.

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Etapa 4.3.18.1

Aplique a propriedade distributiva.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x - 1 - x - 1 \cdot 1}{(x + 1) (x - 1)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 4.3.18.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.3.18.2.1

Combine os termos opostos em $x - 1 - x - 1 \cdot 1$ .

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Etapa 4.3.18.2.1.1

Subtraia $x$ de $x$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{0 - 1 - 1 \cdot 1}{(x + 1) (x - 1)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 4.3.18.2.1.2

Subtraia $1$ de $0$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 1 - 1 \cdot 1}{(x + 1) (x - 1)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 4.3.18.2.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 1 - 1}{(x + 1) (x - 1)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 4.3.18.2.3

Subtraia $1$ de $- 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{- 2}{(x + 1) (x - 1)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 4.3.18.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{2}{(x + 1) (x - 1)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Etapa 4.3.19

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{2}{(x + 1) (x - 1)}}{\frac{d}{d x} [x^{- 1}]}}$

Etapa 4.3.20

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{2}{(x + 1) (x - 1)}}{- x^{- 2}}}$

Etapa 4.3.21

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{- \frac{2}{(x + 1) (x - 1)}}{- \frac{1}{x^{2}}}}$

Etapa 4.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$e^{lim_{x \to \infty} - \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} \cdot - 1 x^{2}}$

Etapa 4.5

Combine os fatores.

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Etapa 4.5.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} 1 \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} x^{2}}$

Etapa 4.5.2

Multiplique $\frac{2}{(x + 1) (x - 1)}$ por $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{2}{(x + 1) (x - 1)} x^{2}}$

Etapa 4.5.3

Combine $\frac{2}{(x + 1) (x - 1)}$ e $x^{2}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2}}{(x + 1) (x - 1)}}$

Etapa 5

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)}}$

Etapa 6

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 6.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 6.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$e^{2 \frac{lim_{x \to \infty} x^{2}}{lim_{x \to \infty} (x + 1) (x - 1)}}$

Etapa 6.1.2

O limite no infinito de um polinômio cujo coeficiente de maior ordem é positivo é o infinito.

$e^{2 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} (x + 1) (x - 1)}}$

Etapa 6.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 6.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$e^{2 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x (x - 1) + 1 (x - 1)}}$

Etapa 6.1.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$e^{2 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1)}}$

Etapa 6.1.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$e^{2 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1}}$

Etapa 6.1.3.4

Reordene $x$ e $- 1$ .

$e^{2 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x \cdot x - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1}}$

Etapa 6.1.3.5

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$e^{2 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x^{1} x - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}}$

Etapa 6.1.3.6

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$e^{2 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x^{1} x^{1} - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}}$

Etapa 6.1.3.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$e^{2 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x^{1 + 1} - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}}$

Etapa 6.1.3.8

Simplifique somando os termos.

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Etapa 6.1.3.8.1

Some $1$ e $1$ .

$e^{2 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x^{2} - 1 x + 1 x + 1 \cdot - 1}}$

Etapa 6.1.3.8.2

Simplifique.

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Etapa 6.1.3.8.2.1

Multiplique $x$ por $1$ .

$e^{2 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x^{2} - 1 x + x + 1 \cdot - 1}}$

Etapa 6.1.3.8.2.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$e^{2 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x^{2} - 1 x + x - 1}}$

Etapa 6.1.3.8.3

Some $- 1 x$ e $x$ .

$e^{2 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x^{2} + 0 - 1}}$

Etapa 6.1.3.8.4

Subtraia $1$ de $0$ .

$e^{2 \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x^{2} - 1}}$

Etapa 6.1.3.9

O limite no infinito de um polinômio cujo coeficiente de maior ordem é positivo é o infinito.

$e^{2 \frac{\infty}{\infty}}$

Etapa 6.1.3.10

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

$e^{2 \frac{\infty}{\infty}}$

Etapa 6.1.4

Infinito divido por infinito é indefinido.

Indefinido

$e^{2 \frac{\infty}{\infty}}$

Etapa 6.2

Como $\frac{\infty}{\infty}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{(x + 1) (x - 1)} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 1)]}$

Etapa 6.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 6.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 1)]}}$

Etapa 6.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x - 1)]}}$

Etapa 6.3.3

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x + 1$ e $g (x) = x - 1$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{(x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1] + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}}$

Etapa 6.3.4

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{(x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}}$

Etapa 6.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{(x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}}$

Etapa 6.3.6

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{(x + 1) (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}}$

Etapa 6.3.7

Some $1$ e $0$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{(x + 1) \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}}$

Etapa 6.3.8

Multiplique $x + 1$ por $1$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{x + 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}}$

Etapa 6.3.9

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{x + 1 + (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}}$

Etapa 6.3.10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{x + 1 + (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1])}}$

Etapa 6.3.11

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{x + 1 + (x - 1) (1 + 0)}}$

Etapa 6.3.12

Some $1$ e $0$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{x + 1 + (x - 1) \cdot 1}}$

Etapa 6.3.13

Multiplique $x - 1$ por $1$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{x + 1 + x - 1}}$

Etapa 6.3.14

Some $x$ e $x$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{2 x + 1 - 1}}$

Etapa 6.3.15

Subtraia $1$ de $1$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{2 x + 0}}$

Etapa 6.3.16

Some $2 x$ e $0$ .

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{2 x}}$

Etapa 6.4

Reduza.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.1.1

Cancele o fator comum.

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{2 x}}$

Etapa 6.4.1.2

Reescreva a expressão.

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{x}{x}}$

Etapa 6.4.2

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.4.2.1

Cancele o fator comum.

$e^{2 lim_{x \to \infty} \frac{x}{x}}$

Etapa 6.4.2.2

Reescreva a expressão.

$e^{2 lim_{x \to \infty} 1}$

Etapa 7

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$e^{2 \cdot 1}$

Etapa 7.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$e^{2}$

Etapa 8

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$e^{2}$

Forma decimal:

$7.38905609 \dots$