Cálculo Exemplos

$\int \frac{x^{3}}{{(1 + x^{4})}^{2}} d x$

Etapa 1

Deixe $u = 1 + x^{4}$ . Depois, $d u = 4 x^{3} d x$ , então, $\frac{1}{4} d u = x^{3} d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = 1 + x^{4}$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $1 + x^{4}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x^{4}]$

Etapa 1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + x^{4}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 1.1.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 1.1.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$0 + 4 x^{3}$

Etapa 1.1.5

Some $0$ e $4 x^{3}$ .

$4 x^{3}$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u^{2}} \cdot \frac{1}{4} d u$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Multiplique $\frac{1}{u^{2}}$ por $\frac{1}{4}$ .

$\int \frac{1}{u^{2} \cdot 4} d u$

Etapa 2.2

Mova $4$ para a esquerda de $u^{2}$ .

$\int \frac{1}{4 u^{2}} d u$

Etapa 3

Como $\frac{1}{4}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{4}$ para fora da integral.

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Etapa 4

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 4.1

Mova $u^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\frac{1}{4} \int {(u^{2})}^{- 1} d u$

Etapa 4.2

Multiplique os expoentes em ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 4.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{4} \int u^{2 \cdot - 1} d u$

Etapa 4.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{4} \int u^{- 2} d u$

Etapa 5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{- 2}$ com relação a $u$ é $- u^{- 1}$ .

$\frac{1}{4} (- u^{- 1} + C)$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Reescreva $\frac{1}{4} (- u^{- 1} + C)$ como $\frac{1}{4} (- \frac{1}{u}) + C$ .

$\frac{1}{4} (- \frac{1}{u}) + C$

Etapa 6.2

Multiplique $\frac{1}{4}$ por $\frac{1}{u}$ .

$- \frac{1}{4 u} + C$

Etapa 7

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 + x^{4}$ .

$- \frac{1}{4 (1 + x^{4})} + C$