Cálculo Exemplos

$h (t) = 60 - 55 \sin (\frac{π}{10} t + \frac{π}{2})$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $60 - 55 \sin (\frac{π}{10} t + \frac{π}{2})$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [60] + \frac{d}{d t} [- 55 \sin (\frac{π}{10} t + \frac{π}{2})]$ .

$\frac{d}{d t} [60] + \frac{d}{d t} [- 55 \sin (\frac{π}{10} t + \frac{π}{2})]$

Etapa 1.1.2

Como $60$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $60$ em relação a $t$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [- 55 \sin (\frac{π}{10} t + \frac{π}{2})]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d t} [- 55 \sin (\frac{π}{10} t + \frac{π}{2})]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Combine $\frac{π}{10}$ e $t$ .

$0 + \frac{d}{d t} [- 55 \sin (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2})]$

Etapa 1.2.2

Como $- 55$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- 55 \sin (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2})$ em relação a $t$ é $- 55 \frac{d}{d t} [\sin (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2})]$ .

$0 - 55 \frac{d}{d t} [\sin (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2})]$

Etapa 1.2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = \sin (t)$ e $g (t) = \frac{π t}{10} + \frac{π}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}$ .

$0 - 55 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d t} [\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}])$

Etapa 1.2.3.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$0 - 55 (\cos (u) \frac{d}{d t} [\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}])$

Etapa 1.2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}$ .

$0 - 55 (\cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) \frac{d}{d t} [\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}])$

Etapa 1.2.4

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [\frac{π t}{10}] + \frac{d}{d t} [\frac{π}{2}]$ .

$0 - 55 (\cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) (\frac{d}{d t} [\frac{π t}{10}] + \frac{d}{d t} [\frac{π}{2}]))$

Etapa 1.2.5

Como $\frac{π}{10}$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $\frac{π t}{10}$ em relação a $t$ é $\frac{π}{10} \frac{d}{d t} [t]$ .

$0 - 55 (\cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) (\frac{π}{10} \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [\frac{π}{2}]))$

Etapa 1.2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 - 55 (\cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) (\frac{π}{10} \cdot 1 + \frac{d}{d t} [\frac{π}{2}]))$

Etapa 1.2.7

Como $\frac{π}{2}$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $\frac{π}{2}$ em relação a $t$ é $0$ .

$0 - 55 (\cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) (\frac{π}{10} \cdot 1 + 0))$

Etapa 1.2.8

Multiplique $\frac{π}{10}$ por $1$ .

$0 - 55 (\cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) (\frac{π}{10} + 0))$

Etapa 1.2.9

Some $\frac{π}{10}$ e $0$ .

$0 - 55 (\cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) \frac{π}{10})$

Etapa 1.2.10

Combine $\cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2})$ e $\frac{π}{10}$ .

$0 - 55 \frac{\cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) π}{10}$

Etapa 1.2.11

Combine $- 55$ e $\frac{\cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) π}{10}$ .

$0 + \frac{- 55 (\cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) π)}{10}$

Etapa 1.2.12

Cancele o fator comum de $- 55$ e $10$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.12.1

Fatore $5$ de $- 55 \cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) π$ .

$0 + \frac{5 (- 11 \cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) π)}{10}$

Etapa 1.2.12.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.12.2.1

Fatore $5$ de $10$ .

$0 + \frac{5 (- 11 \cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) π)}{5 (2)}$

Etapa 1.2.12.2.2

Cancele o fator comum.

$0 + \frac{5 (- 11 \cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) π)}{5 \cdot 2}$

Etapa 1.2.12.2.3

Reescreva a expressão.

$0 + \frac{- 11 \cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) π}{2}$

Etapa 1.2.13

Mova o número negativo para a frente da fração.

$0 - \frac{11 \cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) π}{2}$

Etapa 1.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Subtraia $\frac{11 \cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) π}{2}$ de $0$ .

$- \frac{11 \cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) π}{2}$

Etapa 1.3.2

Reordene os fatores em $- \frac{11 \cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) π}{2}$ .

$- \frac{11 π \cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2})}{2}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Como $- \frac{11 π}{2}$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- \frac{11 π \cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2})}{2}$ em relação a $t$ é $- \frac{11 π}{2} \frac{d}{d t} [\cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2})]$ .

$h'' (t) = - \frac{11 π}{2} \cdot \frac{d}{d t} \cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2})$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = \cos (t)$ e $g (t) = \frac{π t}{10} + \frac{π}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}$ .

$h'' (t) = - \frac{11 π}{2} \cdot (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d t} (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}))$

Etapa 2.2.2

A derivada de $\cos (u)$ em relação a $u$ é $- \sin (u)$ .

$h'' (t) = - \frac{11 π}{2} \cdot (- \sin (u) \frac{d}{d t} (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}))$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}$ .

$h'' (t) = - \frac{11 π}{2} \cdot (- \sin (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) \frac{d}{d t} (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}))$

Etapa 2.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$h'' (t) = 1 (\frac{11 π}{2}) \cdot (\sin (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) \frac{d}{d t} (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}))$

Etapa 2.3.2

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.2.1

Multiplique $\frac{11 π}{2}$ por $1$ .

$h'' (t) = \frac{11 π}{2} \cdot (\sin (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) \frac{d}{d t} (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}))$

Etapa 2.3.2.2

Combine $\sin (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2})$ e $\frac{11 π}{2}$ .

$h'' (t) = \frac{\sin (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) (11 π)}{2} \cdot \frac{d}{d t} (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2})$

Etapa 2.3.2.3

Mova $11$ para a esquerda de $\sin (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2})$ .

$h'' (t) = \frac{11 \cdot (\sin (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) π)}{2} \cdot \frac{d}{d t} (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2})$

Etapa 2.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [\frac{π t}{10}] + \frac{d}{d t} [\frac{π}{2}]$ .

$h'' (t) = \frac{11 \sin (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) π}{2} \cdot (\frac{d}{d t} (\frac{π t}{10}) + \frac{d}{d t} (\frac{π}{2}))$

Etapa 2.3.4

Como $\frac{π}{10}$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $\frac{π t}{10}$ em relação a $t$ é $\frac{π}{10} \frac{d}{d t} [t]$ .

$h'' (t) = \frac{11 \sin (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) π}{2} \cdot (\frac{π}{10} \cdot \frac{d}{d t} (t) + \frac{d}{d t} (\frac{π}{2}))$

Etapa 2.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$h'' (t) = \frac{11 \sin (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) π}{2} \cdot (\frac{π}{10} \cdot 1 + \frac{d}{d t} (\frac{π}{2}))$

Etapa 2.3.6

Multiplique $\frac{π}{10}$ por $1$ .

$h'' (t) = \frac{11 \sin (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) π}{2} \cdot (\frac{π}{10} + \frac{d}{d t} (\frac{π}{2}))$

Etapa 2.3.7

Como $\frac{π}{2}$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $\frac{π}{2}$ em relação a $t$ é $0$ .

$h'' (t) = \frac{11 \sin (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) π}{2} \cdot (\frac{π}{10} + 0)$

Etapa 2.3.8

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.8.1

Some $\frac{π}{10}$ e $0$ .

$h'' (t) = \frac{11 \sin (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) π}{2} \cdot \frac{π}{10}$

Etapa 2.3.8.2

Multiplique $\frac{11 \sin (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) π}{2}$ por $\frac{π}{10}$ .

$h'' (t) = \frac{11 \sin (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) π π}{2 \cdot 10}$

Etapa 2.4

Eleve $π$ à potência de $1$ .

$h'' (t) = \frac{11 \sin (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) (π π)}{2 \cdot 10}$

Etapa 2.5

Eleve $π$ à potência de $1$ .

$h'' (t) = \frac{11 \sin (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) (π π)}{2 \cdot 10}$

Etapa 2.6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$h'' (t) = \frac{11 \sin (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) π^{1 + 1}}{2 \cdot 10}$

Etapa 2.7

Some $1$ e $1$ .

$h'' (t) = \frac{11 \sin (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) π^{2}}{2 \cdot 10}$

Etapa 2.8

Multiplique $2$ por $10$ .

$h'' (t) = \frac{11 \sin (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) π^{2}}{20}$

Etapa 2.9

Reordene os fatores em $11 \sin (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) π^{2}$ .

$h'' (t) = \frac{11 π^{2} \sin (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2})}{20}$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$- \frac{11 π \cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2})}{2} = 0$

Etapa 4

Defina o numerador como igual a zero.

$11 π \cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) = 0$

Etapa 5

Resolva a equação para $t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Divida cada termo em $11 π \cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) = 0$ por $11 π$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Divida cada termo em $11 π \cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) = 0$ por $11 π$ .

$\frac{11 π \cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2})}{11 π} = \frac{0}{11 π}$

Etapa 5.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.1

Cancele o fator comum de $11$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{11 π \cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2})}{11 π} = \frac{0}{11 π}$

Etapa 5.1.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{π \cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2})}{π} = \frac{0}{11 π}$

Etapa 5.1.2.2

Cancele o fator comum de $π$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{π \cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2})}{π} = \frac{0}{11 π}$

Etapa 5.1.2.2.2

Divida $\cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2})$ por $1$ .

$\cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) = \frac{0}{11 π}$

Etapa 5.1.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.1

Cancele o fator comum de $0$ e $11$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.1.1

Fatore $11$ de $0$ .

$\cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) = \frac{11 (0)}{11 π}$

Etapa 5.1.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.1.2.1

Fatore $11$ de $11 π$ .

$\cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) = \frac{11 (0)}{11 (π)}$

Etapa 5.1.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) = \frac{11 \cdot 0}{11 π}$

Etapa 5.1.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$\cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) = \frac{0}{π}$

Etapa 5.1.3.2

Divida $0$ por $π$ .

$\cos (\frac{π t}{10} + \frac{π}{2}) = 0$

Etapa 5.2

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $t$ de dentro do cosseno.

$\frac{π t}{10} + \frac{π}{2} = \arccos (0)$

Etapa 5.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

O valor exato de $\arccos (0)$ é $\frac{π}{2}$ .

$\frac{π t}{10} + \frac{π}{2} = \frac{π}{2}$

Etapa 5.4

Mova todos os termos que não contêm $t$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Subtraia $\frac{π}{2}$ dos dois lados da equação.

$\frac{π t}{10} = \frac{π}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 5.4.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{π t}{10} = \frac{π - π}{2}$

Etapa 5.4.3

Subtraia $π$ de $π$ .

$\frac{π t}{10} = \frac{0}{2}$

Etapa 5.4.4

Divida $0$ por $2$ .

$\frac{π t}{10} = 0$

Etapa 5.5

Defina o numerador como igual a zero.

$π t = 0$

Etapa 5.6

Divida cada termo em $π t = 0$ por $π$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.1

Divida cada termo em $π t = 0$ por $π$ .

$\frac{π t}{π} = \frac{0}{π}$

Etapa 5.6.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.2.1

Cancele o fator comum de $π$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{π t}{π} = \frac{0}{π}$

Etapa 5.6.2.1.2

Divida $t$ por $1$ .

$t = \frac{0}{π}$

Etapa 5.6.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.3.1

Divida $0$ por $π$ .

$t = 0$

Etapa 5.7

A função do cosseno é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$\frac{π t}{10} + \frac{π}{2} = 2 π - \frac{π}{2}$

Etapa 5.8

Resolva $t$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.8.1

Simplifique $2 π - \frac{π}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.8.1.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π t}{10} + \frac{π}{2} = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 5.8.1.2

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.8.1.2.1

Combine $2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{π t}{10} + \frac{π}{2} = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 5.8.1.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{π t}{10} + \frac{π}{2} = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Etapa 5.8.1.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.8.1.3.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{π t}{10} + \frac{π}{2} = \frac{4 π - π}{2}$

Etapa 5.8.1.3.2

Subtraia $π$ de $4 π$ .

$\frac{π t}{10} + \frac{π}{2} = \frac{3 π}{2}$

Etapa 5.8.2

Mova todos os termos que não contêm $t$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.8.2.1

Subtraia $\frac{π}{2}$ dos dois lados da equação.

$\frac{π t}{10} = \frac{3 π}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 5.8.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{π t}{10} = \frac{3 π - π}{2}$

Etapa 5.8.2.3

Subtraia $π$ de $3 π$ .

$\frac{π t}{10} = \frac{2 π}{2}$

Etapa 5.8.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.8.2.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{π t}{10} = \frac{2 π}{2}$

Etapa 5.8.2.4.2

Divida $π$ por $1$ .

$\frac{π t}{10} = π$

Etapa 5.8.3

Multiplique os dois lados da equação por $\frac{10}{π}$ .

$\frac{10}{π} \cdot \frac{π t}{10} = \frac{10}{π} π$

Etapa 5.8.4

Simplifique os dois lados da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.8.4.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.8.4.1.1

Simplifique $\frac{10}{π} \cdot \frac{π t}{10}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.8.4.1.1.1

Cancele o fator comum de $10$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.8.4.1.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{10}{π} \cdot \frac{π t}{10} = \frac{10}{π} π$

Etapa 5.8.4.1.1.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{π} (π t) = \frac{10}{π} π$

Etapa 5.8.4.1.1.2

Cancele o fator comum de $π$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.8.4.1.1.2.1

Fatore $π$ de $π t$ .

$\frac{1}{π} (π (t)) = \frac{10}{π} π$

Etapa 5.8.4.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{π} (π t) = \frac{10}{π} π$

Etapa 5.8.4.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$t = \frac{10}{π} π$

Etapa 5.8.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.8.4.2.1

Cancele o fator comum de $π$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.8.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$t = \frac{10}{π} π$

Etapa 5.8.4.2.1.2

Reescreva a expressão.

$t = 10$

Etapa 5.9

A solução para a equação $\frac{π t}{10} + \frac{π}{2} = \frac{π}{2}$ .

$t = 0, 10$

Etapa 6

Avalie a segunda derivada em $t = 0$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{11 π^{2} \sin (\frac{π (0)}{10} + \frac{π}{2})}{20}$

Etapa 7

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Cancele o fator comum de $0$ e $10$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1

Fatore $10$ de $π (0)$ .

$\frac{11 π^{2} \sin (\frac{10 (π \cdot (0))}{10} + \frac{π}{2})}{20}$

Etapa 7.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.2.1

Fatore $10$ de $10$ .

$\frac{11 π^{2} \sin (\frac{10 (π \cdot (0))}{10 (1)} + \frac{π}{2})}{20}$

Etapa 7.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{11 π^{2} \sin (\frac{10 (π \cdot (0))}{10 \cdot 1} + \frac{π}{2})}{20}$

Etapa 7.1.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{11 π^{2} \sin (\frac{π \cdot (0)}{1} + \frac{π}{2})}{20}$

Etapa 7.1.2.4

Divida $π \cdot (0)$ por $1$ .

$\frac{11 π^{2} \sin (π \cdot (0) + \frac{π}{2})}{20}$

Etapa 7.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Multiplique $π$ por $0$ .

$\frac{11 π^{2} \sin (0 + \frac{π}{2})}{20}$

Etapa 7.2.2

Some $0$ e $\frac{π}{2}$ .

$\frac{11 π^{2} \sin (\frac{π}{2})}{20}$

Etapa 7.2.3

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$\frac{11 π^{2} \cdot 1}{20}$

Etapa 7.2.4

Multiplique $11$ por $1$ .

$\frac{11 π^{2}}{20}$

Etapa 8

$t = 0$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$t = 0$ é um mínimo local

Etapa 9

Encontre o valor y quando $t = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Substitua a variável $t$ por $0$ na expressão.

$h (0) = 60 - 55 \sin (\frac{π}{10} \cdot (0) + \frac{π}{2})$

Etapa 9.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1.1

Multiplique $\frac{π}{10}$ por $0$ .

$h (0) = 60 - 55 \sin (0 + \frac{π}{2})$

Etapa 9.2.1.2

Some $0$ e $\frac{π}{2}$ .

$h (0) = 60 - 55 \sin (\frac{π}{2})$

Etapa 9.2.1.3

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$h (0) = 60 - 55 \cdot 1$

Etapa 9.2.1.4

Multiplique $- 55$ por $1$ .

$h (0) = 60 - 55$

Etapa 9.2.2

Subtraia $55$ de $60$ .

$h (0) = 5$

Etapa 9.2.3

A resposta final é $5$ .

$y = 5$

Etapa 10

Avalie a segunda derivada em $t = 10$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{11 π^{2} \sin (\frac{π (10)}{10} + \frac{π}{2})}{20}$

Etapa 11

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Cancele o fator comum de $10$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{11 π^{2} \sin (\frac{π \cdot 10}{10} + \frac{π}{2})}{20}$

Etapa 11.1.2

Divida $π$ por $1$ .

$\frac{11 π^{2} \sin (π + \frac{π}{2})}{20}$

Etapa 11.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{11 π^{2} \sin (π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2})}{20}$

Etapa 11.2.2

Combine $π$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{11 π^{2} \sin (\frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2})}{20}$

Etapa 11.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{11 π^{2} \sin (\frac{π \cdot 2 + π}{2})}{20}$

Etapa 11.2.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.4.1

Mova $2$ para a esquerda de $π$ .

$\frac{11 π^{2} \sin (\frac{2 \cdot π + π}{2})}{20}$

Etapa 11.2.4.2

Some $2 π$ e $π$ .

$\frac{11 π^{2} \sin (\frac{3 π}{2})}{20}$

Etapa 11.2.5

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o seno é negativo no quarto quadrante.

$\frac{11 π^{2} (- \sin (\frac{π}{2}))}{20}$

Etapa 11.2.6

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$\frac{11 π^{2} (- 1 \cdot 1)}{20}$

Etapa 11.2.7

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{11 π^{2} \cdot - 1}{20}$

Etapa 11.2.8

Multiplique $- 1$ por $11$ .

$\frac{- 11 π^{2}}{20}$

Etapa 11.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{11 π^{2}}{20}$

Etapa 12

$t = 10$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$t = 10$ é um máximo local

Etapa 13

Encontre o valor y quando $t = 10$ .

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Etapa 13.1

Substitua a variável $t$ por $10$ na expressão.

$h (10) = 60 - 55 \sin (\frac{π}{10} \cdot (10) + \frac{π}{2})$

Etapa 13.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.1.1

Cancele o fator comum de $10$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$h (10) = 60 - 55 \sin (\frac{π}{10} \cdot 10 + \frac{π}{2})$

Etapa 13.2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$h (10) = 60 - 55 \sin (π + \frac{π}{2})$

Etapa 13.2.1.2

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$h (10) = 60 - 55 \sin (π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2})$

Etapa 13.2.1.3

Combine $π$ e $\frac{2}{2}$ .

$h (10) = 60 - 55 \sin (\frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2})$

Etapa 13.2.1.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$h (10) = 60 - 55 \sin (\frac{π \cdot 2 + π}{2})$

Etapa 13.2.1.5

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.1.5.1

Mova $2$ para a esquerda de $π$ .

$h (10) = 60 - 55 \sin (\frac{2 \cdot π + π}{2})$

Etapa 13.2.1.5.2

Some $2 π$ e $π$ .

$h (10) = 60 - 55 \sin (\frac{3 π}{2})$

Etapa 13.2.1.6

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o seno é negativo no quarto quadrante.

$h (10) = 60 - 55 (- \sin (\frac{π}{2}))$

Etapa 13.2.1.7

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$h (10) = 60 - 55 (- 1 \cdot 1)$

Etapa 13.2.1.8

Multiplique $- 55 (- 1 \cdot 1)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.1.8.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$h (10) = 60 - 55 \cdot - 1$

Etapa 13.2.1.8.2

Multiplique $- 55$ por $- 1$ .

$h (10) = 60 + 55$

Etapa 13.2.2

Some $60$ e $55$ .

$h (10) = 115$

Etapa 13.2.3

A resposta final é $115$ .

$y = 115$

Etapa 14

Esses são os extremos locais para $h (t) = 60 - 55 \sin (\frac{π}{10} t + \frac{π}{2})$ .

$(0, 5)$ é um mínimo local

$(10, 115)$ é um máximo local

Etapa 15