Cálculo Exemplos

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{2 - 4 x}{8 - 64 x^{3}}$

Etapa 1

Cancele o fator comum de $2 - 4 x$ e $8 - 64 x^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Fatore $2$ de $2$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{2 (1) - 4 x}{8 - 64 x^{3}}$

Etapa 1.2

Fatore $2$ de $- 4 x$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{2 (1) + 2 (- 2 x)}{8 - 64 x^{3}}$

Etapa 1.3

Fatore $2$ de $2 (1) + 2 (- 2 x)$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{2 (1 - 2 x)}{8 - 64 x^{3}}$

Etapa 1.4

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Fatore $2$ de $8$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{2 (1 - 2 x)}{2 \cdot 4 - 64 x^{3}}$

Etapa 1.4.2

Fatore $2$ de $- 64 x^{3}$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{2 (1 - 2 x)}{2 \cdot 4 + 2 (- 32 x^{3})}$

Etapa 1.4.3

Fatore $2$ de $2 (4) + 2 (- 32 x^{3})$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{2 (1 - 2 x)}{2 (4 - 32 x^{3})}$

Etapa 1.4.4

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{2 (1 - 2 x)}{2 (4 - 32 x^{3})}$

Etapa 1.4.5

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{1 - 2 x}{4 - 32 x^{3}}$

Etapa 2

Aplique a regra de l'Hôpital.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} 1 - 2 x}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 - 32 x^{3}}$

Etapa 2.1.2

Avalie o limite do numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\frac{1}{2}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} 1 - lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 - 32 x^{3}}$

Etapa 2.1.2.1.2

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1 - lim_{x \to \frac{1}{2}} 2 x}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 - 32 x^{3}}$

Etapa 2.1.2.1.3

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1 - 2 lim_{x \to \frac{1}{2}} x}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 - 32 x^{3}}$

Etapa 2.1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $\frac{1}{2}$ por $x$ .

$\frac{1 - 2 (\frac{1}{2})}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 - 32 x^{3}}$

Etapa 2.1.2.3

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.3.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.3.1.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$\frac{1 + 2 (- 1) \frac{1}{2}}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 - 32 x^{3}}$

Etapa 2.1.2.3.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1 + 2 \cdot - 1 \frac{1}{2}}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 - 32 x^{3}}$

Etapa 2.1.2.3.1.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 - 32 x^{3}}$

Etapa 2.1.2.3.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 - 32 x^{3}}$

Etapa 2.1.3

Avalie o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.1

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\frac{1}{2}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{1}{2}} 4 - lim_{x \to \frac{1}{2}} 32 x^{3}}$

Etapa 2.1.3.1.2

Avalie o limite de $4$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\frac{1}{2}$ .

$\frac{0}{4 - lim_{x \to \frac{1}{2}} 32 x^{3}}$

Etapa 2.1.3.1.3

Mova o termo $32$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{0}{4 - 32 lim_{x \to \frac{1}{2}} x^{3}}$

Etapa 2.1.3.1.4

Mova o expoente $3$ de $x^{3}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{0}{4 - 32 {(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{3}}$

Etapa 2.1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $\frac{1}{2}$ por $x$ .

$\frac{0}{4 - 32 {(\frac{1}{2})}^{3}}$

Etapa 2.1.3.3

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.3.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{2}$ .

$\frac{0}{4 - 32 \frac{1^{3}}{2^{3}}}$

Etapa 2.1.3.3.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{0}{4 - 32 \frac{1}{2^{3}}}$

Etapa 2.1.3.3.1.3

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$\frac{0}{4 - 32 (\frac{1}{8})}$

Etapa 2.1.3.3.1.4

Cancele o fator comum de $8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.3.1.4.1

Fatore $8$ de $- 32$ .

$\frac{0}{4 + 8 (- 4) \frac{1}{8}}$

Etapa 2.1.3.3.1.4.2

Cancele o fator comum.

$\frac{0}{4 + 8 \cdot - 4 \frac{1}{8}}$

Etapa 2.1.3.3.1.4.3

Reescreva a expressão.

$\frac{0}{4 - 4}$

Etapa 2.1.3.3.2

Subtraia $4$ de $4$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 2.1.3.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{1 - 2 x}{4 - 32 x^{3}} = lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [1 - 2 x]}{\frac{d}{d x} [4 - 32 x^{3}]}$

Etapa 2.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [1 - 2 x]}{\frac{d}{d x} [4 - 32 x^{3}]}$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - 2 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [4 - 32 x^{3}]}$

Etapa 2.3.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]}{\frac{d}{d x} [4 - 32 x^{3}]}$

Etapa 2.3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.4.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{0 - 2 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [4 - 32 x^{3}]}$

Etapa 2.3.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{0 - 2 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [4 - 32 x^{3}]}$

Etapa 2.3.4.3

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{0 - 2}{\frac{d}{d x} [4 - 32 x^{3}]}$

Etapa 2.3.5

Subtraia $2$ de $0$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{- 2}{\frac{d}{d x} [4 - 32 x^{3}]}$

Etapa 2.3.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 - 32 x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{3}]$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{- 2}{\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- 32 x^{3}]}$

Etapa 2.3.7

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{- 2}{0 + \frac{d}{d x} [- 32 x^{3}]}$

Etapa 2.3.8

Avalie $\frac{d}{d x} [- 32 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.8.1

Como $- 32$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 32 x^{3}$ em relação a $x$ é $- 32 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{- 2}{0 - 32 \frac{d}{d x} [x^{3}]}$

Etapa 2.3.8.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{- 2}{0 - 32 (3 x^{2})}$

Etapa 2.3.8.3

Multiplique $3$ por $- 32$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{- 2}{0 - 96 x^{2}}$

Etapa 2.3.9

Subtraia $96 x^{2}$ de $0$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{- 2}{- 96 x^{2}}$

Etapa 2.4

Cancele o fator comum de $- 2$ e $- 96$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Fatore $- 2$ de $- 2$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{- 2 (1)}{- 96 x^{2}}$

Etapa 2.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.2.1

Fatore $- 2$ de $- 96 x^{2}$ .

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{- 2 (1)}{- 2 (48 x^{2})}$

Etapa 2.4.2.2

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{- 2 \cdot 1}{- 2 (48 x^{2})}$

Etapa 2.4.2.3

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{1}{48 x^{2}}$

Etapa 3

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Mova o termo $\frac{1}{48}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{48} lim_{x \to \frac{1}{2}} \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 3.2

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{48} \cdot \frac{lim_{x \to \frac{1}{2}} 1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} x^{2}}$

Etapa 3.3

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{48} \cdot \frac{1}{lim_{x \to \frac{1}{2}} x^{2}}$

Etapa 3.4

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{1}{48} \cdot \frac{1}{{(lim_{x \to \frac{1}{2}} x)}^{2}}$

Etapa 4

Avalie o limite de $x$ substituindo $\frac{1}{2}$ por $x$ .

$\frac{1}{48} \cdot \frac{1}{{(\frac{1}{2})}^{2}}$

Etapa 5

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Combine.

$\frac{1 \cdot 1}{48 {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Etapa 5.2

Multiplique $1$ por $1$ .

$\frac{1}{48 {(\frac{1}{2})}^{2}}$

Etapa 5.3

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{48 \frac{1^{2}}{2^{2}}}$

Etapa 5.3.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{1}{48 \frac{1}{2^{2}}}$

Etapa 5.3.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{1}{48 (\frac{1}{4})}$

Etapa 5.4

Combine $48$ e $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{\frac{48}{4}}$

Etapa 5.5

Divida $48$ por $4$ .

$\frac{1}{12}$

Etapa 6

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{1}{12}$

Forma decimal:

$0.08\overline{3}$