Cálculo Exemplos

$\int x (x^{2} + 7) (\frac{1}{3}) d x$

Etapa 1

Combine $\frac{1}{3}$ e $x$ .

$\int \frac{x}{3} (x^{2} + 7) d x$

Etapa 2

Deixe $u_{1} = \frac{x}{3}$ . Depois, $d u_{1} = \frac{1}{3} d x$ , então, $3 d u_{1} = d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 2.1

Deixe $u_{1} = \frac{x}{3}$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Etapa 2.1.1

Diferencie $\frac{x}{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{3}]$

Etapa 2.1.2

Como $\frac{1}{3}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x}{3}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1$

Etapa 2.1.4

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $1$ .

$\frac{1}{3}$

Etapa 2.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int 3 u_{1} ({(3 u_{1})}^{2} + 7) d u_{1}$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Fatore $3$ de $3 u_{1}$ .

$\int 3 u_{1} ({(3 (u_{1}))}^{2} + 7) d u_{1}$

Etapa 3.2

Aplique a regra do produto a $3 (u_{1})$ .

$\int 3 u_{1} (3^{2} {u_{1}}^{2} + 7) d u_{1}$

Etapa 3.3

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$\int 3 u_{1} (9 {u_{1}}^{2} + 7) d u_{1}$

Etapa 4

Deixe $u_{2} = 9 {u_{1}}^{2} + 7$ . Depois, $d u_{2} = 18 u_{1} d u_{1}$ , então, $\frac{1}{18} d u_{2} = u_{1} d u_{1}$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 4.1

Deixe $u_{2} = 9 {u_{1}}^{2} + 7$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Etapa 4.1.1

Diferencie $9 {u_{1}}^{2} + 7$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [9 {u_{1}}^{2} + 7]$

Etapa 4.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $9 {u_{1}}^{2} + 7$ com relação a $u_{1}$ é $\frac{d}{d u_{1}} [9 {u_{1}}^{2}] + \frac{d}{d u_{1}} [7]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [9 {u_{1}}^{2}] + \frac{d}{d u_{1}} [7]$

Etapa 4.1.3

Avalie $\frac{d}{d u_{1}} [9 {u_{1}}^{2}]$ .

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Etapa 4.1.3.1

Como $9$ é constante em relação a $u_{1}$ , a derivada de $9 {u_{1}}^{2}$ em relação a $u_{1}$ é $9 \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}]$ .

$9 \frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] + \frac{d}{d u_{1}} [7]$

Etapa 4.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$9 (2 u_{1}) + \frac{d}{d u_{1}} [7]$

Etapa 4.1.3.3

Multiplique $2$ por $9$ .

$18 u_{1} + \frac{d}{d u_{1}} [7]$

Etapa 4.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 4.1.4.1

Como $7$ é constante em relação a $u_{1}$ , a derivada de $7$ em relação a $u_{1}$ é $0$ .

$18 u_{1} + 0$

Etapa 4.1.4.2

Some $18 u_{1}$ e $0$ .

$18 u_{1}$

Etapa 4.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\int 3 u_{2} \frac{1}{18} d u_{2}$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Combine $\frac{1}{18}$ e $3$ .

$\int \frac{3}{18} u_{2} d u_{2}$

Etapa 5.2

Combine $\frac{3}{18}$ e $u_{2}$ .

$\int \frac{3 u_{2}}{18} d u_{2}$

Etapa 5.3

Cancele o fator comum de $3$ e $18$ .

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Etapa 5.3.1

Fatore $3$ de $3 u_{2}$ .

$\int \frac{3 (u_{2})}{18} d u_{2}$

Etapa 5.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.3.2.1

Fatore $3$ de $18$ .

$\int \frac{3 u_{2}}{3 \cdot 6} d u_{2}$

Etapa 5.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\int \frac{3 u_{2}}{3 \cdot 6} d u_{2}$

Etapa 5.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\int \frac{u_{2}}{6} d u_{2}$

Etapa 6

Como $\frac{1}{6}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{6}$ para fora da integral.

$\frac{1}{6} \int u_{2} d u_{2}$

Etapa 7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u_{2}$ com relação a $u_{2}$ é $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{6} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Reescreva $\frac{1}{6} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C)$ como $\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

Etapa 8.2

Simplifique.

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Etapa 8.2.1

Multiplique $\frac{1}{6}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{6 \cdot 2} {u_{2}}^{2} + C$

Etapa 8.2.2

Multiplique $6$ por $2$ .

$\frac{1}{12} {u_{2}}^{2} + C$

Etapa 9

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

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Etapa 9.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $9 {u_{1}}^{2} + 7$ .

$\frac{1}{12} {(9 {u_{1}}^{2} + 7)}^{2} + C$

Etapa 9.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\frac{x}{3}$ .

$\frac{1}{12} {(9 {(\frac{x}{3})}^{2} + 7)}^{2} + C$

Etapa 10

Reordene os termos.

$\frac{1}{12} {(9 {(\frac{1}{3} x)}^{2} + 7)}^{2} + C$