Cálculo Exemplos

$y = 3 \sqrt{\sin (x)}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

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Etapa 1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{\sin (x)}$ como ${\sin (x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [3 {\sin (x)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 1.2

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 {\sin (x)}^{\frac{1}{2}}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [{\sin (x)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [{\sin (x)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = \sin (x)$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\sin (x)$ .

$3 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\sin (x)$ .

$3 (\frac{1}{2} {\sin (x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Etapa 3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} {\sin (x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Etapa 4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$3 (\frac{1}{2} {\sin (x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Etapa 5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$3 (\frac{1}{2} {\sin (x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Etapa 6

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$3 (\frac{1}{2} {\sin (x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Etapa 6.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$3 (\frac{1}{2} {\sin (x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Etapa 7

Combine frações.

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Etapa 7.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$3 (\frac{1}{2} {\sin (x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Etapa 7.2

Combine $\frac{1}{2}$ e ${\sin (x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$3 (\frac{{\sin (x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Etapa 7.3

Mova ${\sin (x)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 (\frac{1}{2 {\sin (x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Etapa 7.4

Combine $\frac{1}{2 {\sin (x)}^{\frac{1}{2}}}$ e $3$ .

$\frac{3}{2 {\sin (x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 8

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$\frac{3}{2 {\sin (x)}^{\frac{1}{2}}} \cos (x)$

Etapa 9

Combine $\frac{3}{2 {\sin (x)}^{\frac{1}{2}}}$ e $\cos (x)$ .

$\frac{3 \cos (x)}{2 {\sin (x)}^{\frac{1}{2}}}$