Cálculo Exemplos

$\int \cos^{2} (2 - 5 x) d x$

Etapa 1

Deixe $u_{1} = 2 - 5 x$ . Depois, $d u_{1} = - 5 d x$ , então, $- \frac{1}{5} d u_{1} = d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u_{1} = 2 - 5 x$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $2 - 5 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 - 5 x]$

Etapa 1.1.2

Diferencie.

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Etapa 1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 - 5 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Etapa 1.1.2.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5 x$ em relação a $x$ é $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 5 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 - 5 \cdot 1$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $- 5$ por $1$ .

$0 - 5$

Etapa 1.1.4

Subtraia $5$ de $0$ .

$- 5$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \cos^{2} (u_{1}) \frac{1}{- 5} d u_{1}$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int \cos^{2} (u_{1}) (- \frac{1}{5}) d u_{1}$

Etapa 2.2

Combine $\cos^{2} (u_{1})$ e $\frac{1}{5}$ .

$\int - \frac{\cos^{2} (u_{1})}{5} d u_{1}$

Etapa 3

Como $- 1$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int \frac{\cos^{2} (u_{1})}{5} d u_{1}$

Etapa 4

Como $\frac{1}{5}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{5}$ para fora da integral.

$- (\frac{1}{5} \int \cos^{2} (u_{1}) d u_{1})$

Etapa 5

Use a fórmula do arco metade para reescrever $\cos^{2} (u_{1})$ como $\frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2}$ .

$- \frac{1}{5} \int \frac{1 + \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1}$

Etapa 6

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$- \frac{1}{5} (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{5}$ .

$- \frac{1}{2 \cdot 5} \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Etapa 7.2

Multiplique $2$ por $5$ .

$- \frac{1}{10} \int 1 + \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Etapa 8

Divida a integral única em várias integrais.

$- \frac{1}{10} (\int d u_{1} + \int \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Etapa 9

Aplique a regra da constante.

$- \frac{1}{10} (u_{1} + C + \int \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Etapa 10

Deixe $u_{2} = 2 u_{1}$ . Depois, $d u_{2} = 2 d u_{1}$ , então, $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 10.1

Deixe $u_{2} = 2 u_{1}$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Etapa 10.1.1

Diferencie $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Etapa 10.1.2

Como $2$ é constante em relação a $u_{1}$ , a derivada de $2 u_{1}$ em relação a $u_{1}$ é $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Etapa 10.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 10.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 10.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$- \frac{1}{10} (u_{1} + C + \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2})$

Etapa 11

Combine $\cos (u_{2})$ e $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{10} (u_{1} + C + \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2})$

Etapa 12

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$- \frac{1}{10} (u_{1} + C + \frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2})$

Etapa 13

A integral de $\cos (u_{2})$ com relação a $u_{2}$ é $\sin (u_{2})$ .

$- \frac{1}{10} (u_{1} + C + \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C))$

Etapa 14

Simplifique.

$- \frac{1}{10} (u_{1} + \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Etapa 15

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

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Etapa 15.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $2 - 5 x$ .

$- \frac{1}{10} (2 - 5 x + \frac{1}{2} \sin (u_{2})) + C$

Etapa 15.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $2 u_{1}$ .

$- \frac{1}{10} (2 - 5 x + \frac{1}{2} \sin (2 u_{1})) + C$

Etapa 15.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $2 - 5 x$ .

$- \frac{1}{10} (2 - 5 x + \frac{1}{2} \sin (2 (2 - 5 x))) + C$