Cálculo Exemplos

$\frac{4}{{(2 y + 1)}^{2}}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

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Etapa 1.1

Como $4$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $\frac{4}{{(2 y + 1)}^{2}}$ em relação a $y$ é $4 \frac{d}{d y} [\frac{1}{{(2 y + 1)}^{2}}]$ .

$4 \frac{d}{d y} [\frac{1}{{(2 y + 1)}^{2}}]$

Etapa 1.2

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 1.2.1

Reescreva $\frac{1}{{(2 y + 1)}^{2}}$ como ${({(2 y + 1)}^{2})}^{- 1}$ .

$4 \frac{d}{d y} [{({(2 y + 1)}^{2})}^{- 1}]$

Etapa 1.2.2

Multiplique os expoentes em ${({(2 y + 1)}^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 1.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \frac{d}{d y} [{(2 y + 1)}^{2 \cdot - 1}]$

Etapa 1.2.2.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$4 \frac{d}{d y} [{(2 y + 1)}^{- 2}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ é $f' (g (y)) g' (y)$ , em que $f (y) = y^{- 2}$ e $g (y) = 2 y + 1$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 y + 1$ .

$4 (\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d y} [2 y + 1])$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 2$ .

$4 (- 2 u^{- 3} \frac{d}{d y} [2 y + 1])$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 y + 1$ .

$4 (- 2 {(2 y + 1)}^{- 3} \frac{d}{d y} [2 y + 1])$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

Multiplique $- 2$ por $4$ .

$- 8 ({(2 y + 1)}^{- 3} \frac{d}{d y} [2 y + 1])$

Etapa 3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 y + 1$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$- 8 {(2 y + 1)}^{- 3} (\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [1])$

Etapa 3.3

Como $2$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $2 y$ em relação a $y$ é $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$- 8 {(2 y + 1)}^{- 3} (2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1])$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 8 {(2 y + 1)}^{- 3} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [1])$

Etapa 3.5

Multiplique $2$ por $1$ .

$- 8 {(2 y + 1)}^{- 3} (2 + \frac{d}{d y} [1])$

Etapa 3.6

Como $1$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $1$ em relação a $y$ é $0$ .

$- 8 {(2 y + 1)}^{- 3} (2 + 0)$

Etapa 3.7

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.7.1

Some $2$ e $0$ .

$- 8 {(2 y + 1)}^{- 3} \cdot 2$

Etapa 3.7.2

Multiplique $2$ por $- 8$ .

$- 16 {(2 y + 1)}^{- 3}$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 16 \frac{1}{{(2 y + 1)}^{3}}$

Etapa 4.2

Combine os termos.

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Etapa 4.2.1

Combine $- 16$ e $\frac{1}{{(2 y + 1)}^{3}}$ .

$\frac{- 16}{{(2 y + 1)}^{3}}$

Etapa 4.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{16}{{(2 y + 1)}^{3}}$