Cálculo Exemplos

$e^{x - e} + \ln (x) - \frac{x}{e}$

Etapa 1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $e^{x - e} + \ln (x) - \frac{x}{e}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [e^{x - e}] + \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{e}]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x - e}] + \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{e}]$

Etapa 2

Avalie $\frac{d}{d x} [e^{x - e}]$ .

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x - e$ .

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Etapa 2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x - e$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x - e] + \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{e}]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [x - e] + \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{e}]$

Etapa 2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - e$ .

$e^{x - e} \frac{d}{d x} [x - e] + \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{e}]$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - e$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- e]$ .

$e^{x - e} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- e]) + \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{e}]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$e^{x - e} (1 + \frac{d}{d x} [- e]) + \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{e}]$

Etapa 2.4

Como $- e$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- e$ em relação a $x$ é $0$ .

$e^{x - e} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{e}]$

Etapa 2.5

Some $1$ e $0$ .

$e^{x - e} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{e}]$

Etapa 2.6

Multiplique $e^{x - e}$ por $1$ .

$e^{x - e} + \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{e}]$

Etapa 3

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$e^{x - e} + \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{e}]$

Etapa 4

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{x}{e}]$ .

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Etapa 4.1

Como $- \frac{1}{e}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{x}{e}$ em relação a $x$ é $- \frac{1}{e} \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{x - e} + \frac{1}{x} - \frac{1}{e} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$e^{x - e} + \frac{1}{x} - \frac{1}{e} \cdot 1$

Etapa 4.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$e^{x - e} + \frac{1}{x} - \frac{1}{e}$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Combine os termos.

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Etapa 5.1.1

Para escrever $e^{x - e}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{e^{x - e} x}{x} + \frac{1}{x} - \frac{1}{e}$

Etapa 5.1.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{e^{x - e} x + 1}{x} - \frac{1}{e}$

Etapa 5.1.3

Para escrever $\frac{e^{x - e} x + 1}{x}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{e}{e}$ .

$\frac{e^{x - e} x + 1}{x} \cdot \frac{e}{e} - \frac{1}{e}$

Etapa 5.1.4

Para escrever $- \frac{1}{e}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{e^{x - e} x + 1}{x} \cdot \frac{e}{e} - \frac{1}{e} \cdot \frac{x}{x}$

Etapa 5.1.5

Escreva cada expressão com um denominador comum de $x e$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 5.1.5.1

Multiplique $\frac{e^{x - e} x + 1}{x}$ por $\frac{e}{e}$ .

$\frac{(e^{x - e} x + 1) e}{x e} - \frac{1}{e} \cdot \frac{x}{x}$

Etapa 5.1.5.2

Multiplique $\frac{1}{e}$ por $\frac{x}{x}$ .

$\frac{(e^{x - e} x + 1) e}{x e} - \frac{x}{e x}$

Etapa 5.1.5.3

Reordene os fatores de $x e$ .

$\frac{(e^{x - e} x + 1) e}{e x} - \frac{x}{e x}$

Etapa 5.1.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{(e^{x - e} x + 1) e - x}{e x}$

Etapa 5.2

Reordene os termos.

$\frac{e (e^{x - e} x + 1) - x}{e x}$