Cálculo Exemplos

$f (x) = 2 x^{3}$ at $(- 2, - 16)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada e avalie em $x = - 2$ e $y = - 16$ para encontrar a inclinação da reta tangente.

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Etapa 1.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{3}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$2 (3 x^{2})$

Etapa 1.3

Multiplique $3$ por $2$ .

$6 x^{2}$

Etapa 1.4

Avalie a derivada em $x = - 2$ .

$6 {(- 2)}^{2}$

Etapa 1.5

Simplifique.

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Etapa 1.5.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$6 \cdot 4$

Etapa 1.5.2

Multiplique $6$ por $4$ .

$24$

Etapa 2

Substitua os valores de inclinação e ponto na fórmula do ponto-declividade e resolva $y$ .

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Etapa 2.1

Use a inclinação $24$ e um ponto determinado $(- 2, - 16)$ para substituir $x_{1}$ e $y_{1}$ na forma do ponto-declividade $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que é derivada da equação de inclinação $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 16) = 24 \cdot (x - (- 2))$

Etapa 2.2

Simplifique a equação e mantenha-a na forma do ponto-declividade.

$y + 16 = 24 \cdot (x + 2)$

Etapa 2.3

Resolva $y$ .

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Etapa 2.3.1

Simplifique $24 \cdot (x + 2)$ .

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Etapa 2.3.1.1

Reescreva.

$y + 16 = 0 + 0 + 24 \cdot (x + 2)$

Etapa 2.3.1.2

Simplifique somando os zeros.

$y + 16 = 24 \cdot (x + 2)$

Etapa 2.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$y + 16 = 24 x + 24 \cdot 2$

Etapa 2.3.1.4

Multiplique $24$ por $2$ .

$y + 16 = 24 x + 48$

Etapa 2.3.2

Mova todos os termos que não contêm $y$ para o lado direito da equação.

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Etapa 2.3.2.1

Subtraia $16$ dos dois lados da equação.

$y = 24 x + 48 - 16$

Etapa 2.3.2.2

Subtraia $16$ de $48$ .

$y = 24 x + 32$

Etapa 3