Cálculo Exemplos

$20 {(1 + e^{10 - t})}^{- 1}$

Etapa 1

Como $20$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $20 {(1 + e^{10 - t})}^{- 1}$ em relação a $t$ é $20 \frac{d}{d t} [{(1 + e^{10 - t})}^{- 1}]$ .

$20 \frac{d}{d t} [{(1 + e^{10 - t})}^{- 1}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = t^{- 1}$ e $g (t) = 1 + e^{10 - t}$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $1 + e^{10 - t}$ .

$20 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d t} [1 + e^{10 - t}])$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$20 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d t} [1 + e^{10 - t}])$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $1 + e^{10 - t}$ .

$20 (- {(1 + e^{10 - t})}^{- 2} \frac{d}{d t} [1 + e^{10 - t}])$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

Multiplique $- 1$ por $20$ .

$- 20 ({(1 + e^{10 - t})}^{- 2} \frac{d}{d t} [1 + e^{10 - t}])$

Etapa 3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 + e^{10 - t}$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [e^{10 - t}]$ .

$- 20 {(1 + e^{10 - t})}^{- 2} (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [e^{10 - t}])$

Etapa 3.3

Como $1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $1$ em relação a $t$ é $0$ .

$- 20 {(1 + e^{10 - t})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d t} [e^{10 - t}])$

Etapa 3.4

Some $0$ e $\frac{d}{d t} [e^{10 - t}]$ .

$- 20 {(1 + e^{10 - t})}^{- 2} \frac{d}{d t} [e^{10 - t}]$

Etapa 4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = e^{t}$ e $g (t) = 10 - t$ .

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Etapa 4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $10 - t$ .

$- 20 {(1 + e^{10 - t})}^{- 2} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d t} [10 - t])$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ é $a^{u_{2}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$- 20 {(1 + e^{10 - t})}^{- 2} (e^{u_{2}} \frac{d}{d t} [10 - t])$

Etapa 4.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $10 - t$ .

$- 20 {(1 + e^{10 - t})}^{- 2} (e^{10 - t} \frac{d}{d t} [10 - t])$

Etapa 5

Diferencie.

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Etapa 5.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $10 - t$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [10] + \frac{d}{d t} [- t]$ .

$- 20 {(1 + e^{10 - t})}^{- 2} (e^{10 - t} (\frac{d}{d t} [10] + \frac{d}{d t} [- t]))$

Etapa 5.2

Como $10$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $10$ em relação a $t$ é $0$ .

$- 20 {(1 + e^{10 - t})}^{- 2} (e^{10 - t} (0 + \frac{d}{d t} [- t]))$

Etapa 5.3

Some $0$ e $\frac{d}{d t} [- t]$ .

$- 20 {(1 + e^{10 - t})}^{- 2} (e^{10 - t} \frac{d}{d t} [- t])$

Etapa 5.4

Como $- 1$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $- t$ em relação a $t$ é $- \frac{d}{d t} [t]$ .

$- 20 {(1 + e^{10 - t})}^{- 2} (e^{10 - t} (- \frac{d}{d t} [t]))$

Etapa 5.5

Multiplique $- 1$ por $- 20$ .

$20 {(1 + e^{10 - t})}^{- 2} (e^{10 - t} (\frac{d}{d t} [t]))$

Etapa 5.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$20 {(1 + e^{10 - t})}^{- 2} (e^{10 - t} \cdot 1)$

Etapa 5.7

Multiplique $e^{10 - t}$ por $1$ .

$20 {(1 + e^{10 - t})}^{- 2} e^{10 - t}$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$20 \frac{1}{{(1 + e^{10 - t})}^{2}} e^{10 - t}$

Etapa 6.2

Combine os termos.

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Etapa 6.2.1

Combine $20$ e $\frac{1}{{(1 + e^{10 - t})}^{2}}$ .

$\frac{20}{{(1 + e^{10 - t})}^{2}} e^{10 - t}$

Etapa 6.2.2

Combine $\frac{20}{{(1 + e^{10 - t})}^{2}}$ e $e^{10 - t}$ .

$\frac{20 e^{10 - t}}{{(1 + e^{10 - t})}^{2}}$