Cálculo Exemplos

$\frac{x - 1}{\sqrt[3]{x}}$

Etapa 1

Escreva $\frac{x - 1}{\sqrt[3]{x}}$ como uma função.

$f (x) = \frac{x - 1}{\sqrt[3]{x}}$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{x - 1}{\sqrt[3]{x}} d x$

Etapa 4

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\int \frac{x - 1}{x^{\frac{1}{3}}} d x$

Etapa 5

Mova $x^{\frac{1}{3}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\int (x - 1) {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d x$

Etapa 6

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

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Etapa 6.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (x - 1) x^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d x$

Etapa 6.2

Combine $\frac{1}{3}$ e $- 1$ .

$\int (x - 1) x^{\frac{- 1}{3}} d x$

Etapa 6.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int (x - 1) x^{- \frac{1}{3}} d x$

Etapa 7

Expanda $(x - 1) x^{- \frac{1}{3}}$ .

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Etapa 7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\int x \cdot x^{- \frac{1}{3}} - 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Etapa 7.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\int x^{1} x^{- \frac{1}{3}} - 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Etapa 7.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int x^{1 - \frac{1}{3}} - 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Etapa 7.4

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\int x^{\frac{3}{3} - \frac{1}{3}} - 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Etapa 7.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\int x^{\frac{3 - 1}{3}} - 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Etapa 7.6

Subtraia $1$ de $3$ .

$\int x^{\frac{2}{3}} - 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Etapa 8

Divida a integral única em várias integrais.

$\int x^{\frac{2}{3}} d x + \int - 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Etapa 9

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{\frac{2}{3}}$ com relação a $x$ é $\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}}$ .

$\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C + \int - 1 x^{- \frac{1}{3}} d x$

Etapa 10

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C - \int x^{- \frac{1}{3}} d x$

Etapa 11

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- \frac{1}{3}}$ com relação a $x$ é $\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}}$ .

$\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} + C - (\frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C)$

Etapa 12

Simplifique.

$\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} - \frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C$

Etapa 13

A resposta é a primitiva da função $f (x) = \frac{x - 1}{\sqrt[3]{x}}$ .

$F (x) =$ $\frac{3}{5} x^{\frac{5}{3}} - \frac{3}{2} x^{\frac{2}{3}} + C$