Cálculo Exemplos

$\int {(2 + y^{2})}^{2} d y$

Etapa 1

Expanda ${(2 + y^{2})}^{2}$ .

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Etapa 1.1

Reescreva ${(2 + y^{2})}^{2}$ como $(2 + y^{2}) (2 + y^{2})$ .

$\int (2 + y^{2}) (2 + y^{2}) d y$

Etapa 1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\int 2 (2 + y^{2}) + y^{2} (2 + y^{2}) d y$

Etapa 1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\int 2 \cdot 2 + 2 y^{2} + y^{2} (2 + y^{2}) d y$

Etapa 1.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\int 2 \cdot 2 + 2 y^{2} + y^{2} \cdot 2 + y^{2} y^{2} d y$

Etapa 1.5

Reordene $y^{2}$ e $2$ .

$\int 2 \cdot 2 + 2 y^{2} + 2 \cdot y^{2} + y^{2} y^{2} d y$

Etapa 1.6

Multiplique $2$ por $2$ .

$\int 4 + 2 y^{2} + 2 y^{2} + y^{2} y^{2} d y$

Etapa 1.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int 4 + 2 y^{2} + 2 y^{2} + y^{2 + 2} d y$

Etapa 1.8

Some $2$ e $2$ .

$\int 4 + 2 y^{2} + 2 y^{2} + y^{4} d y$

Etapa 1.9

Some $2 y^{2}$ e $2 y^{2}$ .

$\int 4 + 4 y^{2} + y^{4} d y$

Etapa 1.10

Reordene $4 y^{2}$ e $y^{4}$ .

$\int 4 + y^{4} + 4 y^{2} d y$

Etapa 1.11

Mova $4$ .

$\int y^{4} + 4 y^{2} + 4 d y$

Etapa 2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int y^{4} d y + \int 4 y^{2} d y + \int 4 d y$

Etapa 3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{4}$ com relação a $y$ é $\frac{1}{5} y^{5}$ .

$\frac{1}{5} y^{5} + C + \int 4 y^{2} d y + \int 4 d y$

Etapa 4

Como $4$ é constante com relação a $y$ , mova $4$ para fora da integral.

$\frac{1}{5} y^{5} + C + 4 \int y^{2} d y + \int 4 d y$

Etapa 5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{2}$ com relação a $y$ é $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{5} y^{5} + C + 4 (\frac{1}{3} y^{3} + C) + \int 4 d y$

Etapa 6

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{5} y^{5} + C + 4 (\frac{1}{3} y^{3} + C) + 4 y + C$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $y^{3}$ .

$\frac{1}{5} y^{5} + C + 4 (\frac{y^{3}}{3} + C) + 4 y + C$

Etapa 7.2

Simplifique.

$\frac{y^{5}}{5} + \frac{4 y^{3}}{3} + 4 y + C$

Etapa 7.3

Reordene os termos.

$\frac{1}{5} y^{5} + \frac{4}{3} y^{3} + 4 y + C$