Cálculo Exemplos

$y = x^{9 \sin (x)}$

Etapa 1

Mantenha $y = f (x)$ , calcule o logaritmo natural dos dois lados $\ln (y) = \ln (f (x))$ .

$\ln (y) = \ln (x^{9 \sin (x)})$

Etapa 2

Expanda $\ln (x^{9 \sin (x)})$ movendo $9 \sin (x)$ para fora do logaritmo.

$\ln (y) = 9 \sin (x) \ln (x)$

Etapa 3

Diferencie a expressão usando a regra da cadeia, lembrando que $y$ é uma função de $x$ .

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Etapa 3.1

Diferencie o lado esquerdo $\ln (y)$ usando a regra da cadeia.

$\frac{y'}{y} = 9 \sin (x) \ln (x)$

Etapa 3.2

Diferencie o lado direito.

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Etapa 3.2.1

Diferencie $9 \sin (x) \ln (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [9 \sin (x) \ln (x)]$

Etapa 3.2.2

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9 \sin (x) \ln (x)$ em relação a $x$ é $9 \frac{d}{d x} [\sin (x) \ln (x)]$ .

$\frac{y'}{y} = 9 \frac{d}{d x} [\sin (x) \ln (x)]$

Etapa 3.2.3

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = \ln (x)$ .

$\frac{y'}{y} = 9 (\sin (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Etapa 3.2.4

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = 9 (\sin (x) \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Etapa 3.2.5

Combine $\sin (x)$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = 9 (\frac{\sin (x)}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

Etapa 3.2.6

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$\frac{y'}{y} = 9 (\frac{\sin (x)}{x} + \ln (x) \cos (x))$

Etapa 3.2.7

Simplifique.

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Etapa 3.2.7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{y'}{y} = 9 \frac{\sin (x)}{x} + 9 (\ln (x) \cos (x))$

Etapa 3.2.7.2

Combine $9$ e $\frac{\sin (x)}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{9 \sin (x)}{x} + 9 \ln (x) \cos (x)$

Etapa 3.2.7.3

Reordene os termos.

$\frac{y'}{y} = 9 \cos (x) \ln (x) + \frac{9 \sin (x)}{x}$

Etapa 4

Isole $y'$ e substitua a função original por $y$ no lado direito.

$y' = (9 \cos (x) \ln (x) + \frac{9 \sin (x)}{x}) x^{9 \sin (x)}$

Etapa 5

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.1

Multiplique $9 \cos (x) \ln (x)$ .

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Etapa 5.1.1

Reordene $\ln (x)$ e $9$ .

$y' = (9 \cdot \ln (x) \cos (x) + \frac{9 \sin (x)}{x}) x^{9 \sin (x)}$

Etapa 5.1.2

Simplifique $9 \cdot \ln (x)$ movendo $9$ para dentro do logaritmo.

$y' = (\ln (x^{9}) \cos (x) + \frac{9 \sin (x)}{x}) x^{9 \sin (x)}$

Etapa 5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$y' = \ln (x^{9}) \cos (x) x^{9 \sin (x)} + \frac{9 \sin (x)}{x} x^{9 \sin (x)}$

Etapa 5.3

Combine $\frac{9 \sin (x)}{x}$ e $x^{9 \sin (x)}$ .

$y' = \ln (x^{9}) \cos (x) x^{9 \sin (x)} + \frac{9 \sin (x) x^{9 \sin (x)}}{x}$

Etapa 5.4

Cancele o fator comum de $x^{9 \sin (x)}$ e $x$ .

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Etapa 5.4.1

Fatore $x$ de $9 \sin (x) x^{9 \sin (x)}$ .

$y' = \ln (x^{9}) \cos (x) x^{9 \sin (x)} + \frac{x (9 \sin (x) x^{9 \sin (x) - 1})}{x}$

Etapa 5.4.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.4.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$y' = \ln (x^{9}) \cos (x) x^{9 \sin (x)} + \frac{x (9 \sin (x) x^{9 \sin (x) - 1})}{x^{1}}$

Etapa 5.4.2.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$y' = \ln (x^{9}) \cos (x) x^{9 \sin (x)} + \frac{x (9 \sin (x) x^{9 \sin (x) - 1})}{x \cdot 1}$

Etapa 5.4.2.3

Cancele o fator comum.

$y' = \ln (x^{9}) \cos (x) x^{9 \sin (x)} + \frac{x (9 \sin (x) x^{9 \sin (x) - 1})}{x \cdot 1}$

Etapa 5.4.2.4

Reescreva a expressão.

$y' = \ln (x^{9}) \cos (x) x^{9 \sin (x)} + \frac{9 \sin (x) x^{9 \sin (x) - 1}}{1}$

Etapa 5.4.2.5

Divida $9 \sin (x) x^{9 \sin (x) - 1}$ por $1$ .

$y' = \ln (x^{9}) \cos (x) x^{9 \sin (x)} + 9 \sin (x) x^{9 \sin (x) - 1}$

Etapa 5.5

Reordene os fatores em $\ln (x^{9}) \cos (x) x^{9 \sin (x)} + 9 \sin (x) x^{9 \sin (x) - 1}$ .

$y' = x^{9 \sin (x)} \ln (x^{9}) \cos (x) + 9 x^{9 \sin (x) - 1} \sin (x)$