Cálculo Exemplos

$\int \frac{8 \sin^{3} (\sqrt{x})}{\sqrt{x}} d x$

Etapa 1

Como $8$ é constante com relação a $x$ , mova $8$ para fora da integral.

$8 \int \frac{\sin^{3} (\sqrt{x})}{\sqrt{x}} d x$

Etapa 2

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$8 \int \frac{\sin^{3} (x^{\frac{1}{2}})}{\sqrt{x}} d x$

Etapa 2.2

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$8 \int \frac{\sin^{3} (x^{\frac{1}{2}})}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Etapa 2.3

Mova $x^{\frac{1}{2}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$8 \int \sin^{3} (x^{\frac{1}{2}}) {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Etapa 2.4

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Etapa 2.4.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 \int \sin^{3} (x^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Etapa 2.4.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$8 \int \sin^{3} (x^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Etapa 2.4.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$8 \int \sin^{3} (x^{\frac{1}{2}}) x^{- \frac{1}{2}} d x$

Etapa 3

Deixe $u_{1} = x^{\frac{1}{2}}$ . Depois, $d u_{1} = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ , então, $- d u_{1} = \frac{- 1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 3.1

Deixe $u_{1} = x^{\frac{1}{2}}$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Etapa 3.1.1

Diferencie $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 3.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}$

Etapa 3.1.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Etapa 3.1.4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Etapa 3.1.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

Etapa 3.1.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.1.6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}$

Etapa 3.1.6.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}$

Etapa 3.1.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}$

Etapa 3.1.8

Simplifique.

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Etapa 3.1.8.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 3.1.8.2

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 3.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$8 \int 2 \sin^{3} (u_{1}) d u_{1}$

Etapa 4

Como $2$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $2$ para fora da integral.

$8 (2 \int \sin^{3} (u_{1}) d u_{1})$

Etapa 5

Multiplique $2$ por $8$ .

$16 \int \sin^{3} (u_{1}) d u_{1}$

Etapa 6

Fatore $\sin^{2} (u_{1})$ .

$16 \int \sin^{2} (u_{1}) \sin (u_{1}) d u_{1}$

Etapa 7

Usando a fórmula de Pitágoras, reescreva $\sin^{2} (u_{1})$ como $1 - \cos^{2} (u_{1})$ .

$16 \int (1 - \cos^{2} (u_{1})) \sin (u_{1}) d u_{1}$

Etapa 8

Deixe $u_{2} = \cos (u_{1})$ . Depois, $d u_{2} = - \sin (u_{1}) d u_{1}$ , então, $- \frac{1}{\sin (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 8.1

Deixe $u_{2} = \cos (u_{1})$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Etapa 8.1.1

Diferencie $\cos (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})]$

Etapa 8.1.2

A derivada de $\cos (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $- \sin (u_{1})$ .

$- \sin (u_{1})$

Etapa 8.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$16 \int - 1 + {u_{2}}^{2} d u_{2}$

Etapa 9

Divida a integral única em várias integrais.

$16 (\int - 1 d u_{2} + \int {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Etapa 10

Aplique a regra da constante.

$16 (- u_{2} + C + \int {u_{2}}^{2} d u_{2})$

Etapa 11

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de ${u_{2}}^{2}$ com relação a $u_{2}$ é $\frac{1}{3} {u_{2}}^{3}$ .

$16 (- u_{2} + C + \frac{1}{3} {u_{2}}^{3} + C)$

Etapa 12

Simplifique.

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Etapa 12.1

Combine $\frac{1}{3}$ e ${u_{2}}^{3}$ .

$16 (- u_{2} + C + \frac{{u_{2}}^{3}}{3} + C)$

Etapa 12.2

Simplifique.

$16 (- u_{2} + \frac{1}{3} {u_{2}}^{3}) + C$

Etapa 13

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

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Etapa 13.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $\cos (u_{1})$ .

$16 (- \cos (u_{1}) + \frac{1}{3} \cos^{3} (u_{1})) + C$

Etapa 13.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x^{\frac{1}{2}}$ .

$16 (- \cos (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{1}{3} \cos^{3} (x^{\frac{1}{2}})) + C$

Etapa 14

Simplifique.

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Etapa 14.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $\cos^{3} (x^{\frac{1}{2}})$ .

$16 (- \cos (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{\cos^{3} (x^{\frac{1}{2}})}{3}) + C$

Etapa 14.2

Aplique a propriedade distributiva.

$16 (- \cos (x^{\frac{1}{2}})) + 16 \frac{\cos^{3} (x^{\frac{1}{2}})}{3} + C$

Etapa 14.3

Multiplique $- 1$ por $16$ .

$- 16 \cos (x^{\frac{1}{2}}) + 16 \frac{\cos^{3} (x^{\frac{1}{2}})}{3} + C$

Etapa 14.4

Combine $16$ e $\frac{\cos^{3} (x^{\frac{1}{2}})}{3}$ .

$- 16 \cos (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{16 \cos^{3} (x^{\frac{1}{2}})}{3} + C$

Etapa 15

Reordene os termos.

$- 16 \cos (x^{\frac{1}{2}}) + \frac{16}{3} \cos^{3} (x^{\frac{1}{2}}) + C$