Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} \frac{1 - e^{x}}{\ln (2 - e^{x})}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - e^{x}}{lim_{x \to 0} \ln (2 - e^{x})}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} e^{x}}{lim_{x \to 0} \ln (2 - e^{x})}$

Etapa 1.1.2.1.2

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1 - lim_{x \to 0} e^{x}}{lim_{x \to 0} \ln (2 - e^{x})}$

Etapa 1.1.2.1.3

Mova o limite para o expoente.

$\frac{1 - e^{lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} \ln (2 - e^{x})}$

Etapa 1.1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{1 - e^{0}}{lim_{x \to 0} \ln (2 - e^{x})}$

Etapa 1.1.2.3

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.1.1

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} \ln (2 - e^{x})}$

Etapa 1.1.2.3.1.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} \ln (2 - e^{x})}$

Etapa 1.1.2.3.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \ln (2 - e^{x})}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1.1

Mova o limite para dentro do logaritmo.

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 0} 2 - e^{x})}$

Etapa 1.1.3.1.2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{0}{\ln (lim_{x \to 0} 2 - lim_{x \to 0} e^{x})}$

Etapa 1.1.3.1.3

Avalie o limite de $2$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$\frac{0}{\ln (2 - lim_{x \to 0} e^{x})}$

Etapa 1.1.3.1.4

Mova o limite para o expoente.

$\frac{0}{\ln (2 - e^{lim_{x \to 0} x})}$

Etapa 1.1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$\frac{0}{\ln (2 - e^{0})}$

Etapa 1.1.3.3

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.3.1.1

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$\frac{0}{\ln (2 - 1 \cdot 1)}$

Etapa 1.1.3.3.1.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{0}{\ln (2 - 1)}$

Etapa 1.1.3.3.2

Subtraia $1$ de $2$ .

$\frac{0}{\ln (1)}$

Etapa 1.1.3.3.3

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 0} \frac{1 - e^{x}}{\ln (2 - e^{x})} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - e^{x}]}{\frac{d}{d x} [\ln (2 - e^{x})]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - e^{x}]}{\frac{d}{d x} [\ln (2 - e^{x})]}$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - e^{x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]}{\frac{d}{d x} [\ln (2 - e^{x})]}$

Etapa 1.3.3

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- e^{x}]}{\frac{d}{d x} [\ln (2 - e^{x})]}$

Etapa 1.3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- e^{x}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- e^{x}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d x} [e^{x}]}{\frac{d}{d x} [\ln (2 - e^{x})]}$

Etapa 1.3.4.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - e^{x}}{\frac{d}{d x} [\ln (2 - e^{x})]}$

Etapa 1.3.5

Subtraia $e^{x}$ de $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{x}}{\frac{d}{d x} [\ln (2 - e^{x})]}$

Etapa 1.3.6

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 2 - e^{x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.6.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 - e^{x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{x}}{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [2 - e^{x}]}$

Etapa 1.3.6.2

A derivada de $\ln (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{x}}{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [2 - e^{x}]}$

Etapa 1.3.6.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 - e^{x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{x}}{\frac{1}{2 - e^{x}} \frac{d}{d x} [2 - e^{x}]}$

Etapa 1.3.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 - e^{x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- e^{x}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{x}}{\frac{1}{2 - e^{x}} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- e^{x}])}$

Etapa 1.3.8

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{x}}{\frac{1}{2 - e^{x}} (0 + \frac{d}{d x} [- e^{x}])}$

Etapa 1.3.9

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- e^{x}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{x}}{\frac{1}{2 - e^{x}} \frac{d}{d x} [- e^{x}]}$

Etapa 1.3.10

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- e^{x}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{x}}{\frac{1}{2 - e^{x}} (- \frac{d}{d x} [e^{x}])}$

Etapa 1.3.11

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{x}}{\frac{1}{2 - e^{x}} (- e^{x})}$

Etapa 1.3.12

Combine $\frac{1}{2 - e^{x}}$ e $e^{x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- e^{x}}{- \frac{e^{x}}{2 - e^{x}}}$

Etapa 1.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{x \to 0} - e^{x} (- \frac{2 - e^{x}}{e^{x}})$

Etapa 1.5

Combine os fatores.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 0} 1 e^{x} \frac{2 - e^{x}}{e^{x}}$

Etapa 1.5.2

Multiplique $e^{x}$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} e^{x} \frac{2 - e^{x}}{e^{x}}$

Etapa 1.5.3

Combine $e^{x}$ e $\frac{2 - e^{x}}{e^{x}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} (2 - e^{x})}{e^{x}}$

Etapa 1.6

Cancele o fator comum de $e^{x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.1

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to 0} \frac{e^{x} (2 - e^{x})}{e^{x}}$

Etapa 1.6.2

Divida $2 - e^{x}$ por $1$ .

$lim_{x \to 0} 2 - e^{x}$

Etapa 2

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $0$ .

$lim_{x \to 0} 2 - lim_{x \to 0} e^{x}$

Etapa 2.2

Avalie o limite de $2$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $0$ .

$2 - lim_{x \to 0} e^{x}$

Etapa 2.3

Mova o limite para o expoente.

$2 - e^{lim_{x \to 0} x}$

Etapa 3

Avalie o limite de $x$ substituindo $0$ por $x$ .

$2 - e^{0}$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$2 - 1 \cdot 1$

Etapa 4.1.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$2 - 1$

Etapa 4.2

Subtraia $1$ de $2$ .

$1$