Cálculo Exemplos

$\int \frac{(2 r - 1) \cos (\sqrt{3 {(2 r - 1)}^{2} + 6})}{\sqrt{3 {(2 r - 1)}^{2} + 6}} d r$

Etapa 1

Deixe $u_{1} = 3 {(2 r - 1)}^{2} + 6$ . Depois, $d u_{1} = (24 r - 12) d r$ , então, $\frac{1}{12} d u_{1} = (2 r - 1) d r$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u_{1} = 3 {(2 r - 1)}^{2} + 6$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d r}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $3 {(2 r - 1)}^{2} + 6$ .

$\frac{d}{d r} [3 {(2 r - 1)}^{2} + 6]$

Etapa 1.1.2

Reescreva ${(2 r - 1)}^{2}$ como $(2 r - 1) (2 r - 1)$ .

$\frac{d}{d r} [3 ((2 r - 1) (2 r - 1)) + 6]$

Etapa 1.1.3

Expanda $(2 r - 1) (2 r - 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d r} [3 (2 r (2 r - 1) - 1 (2 r - 1)) + 6]$

Etapa 1.1.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d r} [3 (2 r (2 r) + 2 r \cdot - 1 - 1 (2 r - 1)) + 6]$

Etapa 1.1.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d r} [3 (2 r (2 r) + 2 r \cdot - 1 - 1 (2 r) - 1 \cdot - 1) + 6]$

Etapa 1.1.4

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 1.1.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.4.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{d}{d r} [3 (2 \cdot 2 r \cdot r + 2 r \cdot - 1 - 1 (2 r) - 1 \cdot - 1) + 6]$

Etapa 1.1.4.1.2

Multiplique $r$ por $r$ somando os expoentes.

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Etapa 1.1.4.1.2.1

Mova $r$ .

$\frac{d}{d r} [3 (2 \cdot 2 (r \cdot r) + 2 r \cdot - 1 - 1 (2 r) - 1 \cdot - 1) + 6]$

Etapa 1.1.4.1.2.2

Multiplique $r$ por $r$ .

$\frac{d}{d r} [3 (2 \cdot 2 r^{2} + 2 r \cdot - 1 - 1 (2 r) - 1 \cdot - 1) + 6]$

Etapa 1.1.4.1.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{d}{d r} [3 (4 r^{2} + 2 r \cdot - 1 - 1 (2 r) - 1 \cdot - 1) + 6]$

Etapa 1.1.4.1.4

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{d}{d r} [3 (4 r^{2} - 2 r - 1 (2 r) - 1 \cdot - 1) + 6]$

Etapa 1.1.4.1.5

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{d}{d r} [3 (4 r^{2} - 2 r - 2 r - 1 \cdot - 1) + 6]$

Etapa 1.1.4.1.6

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{d}{d r} [3 (4 r^{2} - 2 r - 2 r + 1) + 6]$

Etapa 1.1.4.2

Subtraia $2 r$ de $- 2 r$ .

$\frac{d}{d r} [3 (4 r^{2} - 4 r + 1) + 6]$

Etapa 1.1.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 (4 r^{2} - 4 r + 1) + 6$ com relação a $r$ é $\frac{d}{d r} [3 (4 r^{2} - 4 r + 1)] + \frac{d}{d r} [6]$ .

$\frac{d}{d r} [3 (4 r^{2} - 4 r + 1)] + \frac{d}{d r} [6]$

Etapa 1.1.6

Avalie $\frac{d}{d r} [3 (4 r^{2} - 4 r + 1)]$ .

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Etapa 1.1.6.1

Como $3$ é constante em relação a $r$ , a derivada de $3 (4 r^{2} - 4 r + 1)$ em relação a $r$ é $3 \frac{d}{d r} [4 r^{2} - 4 r + 1]$ .

$3 \frac{d}{d r} [4 r^{2} - 4 r + 1] + \frac{d}{d r} [6]$

Etapa 1.1.6.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 r^{2} - 4 r + 1$ com relação a $r$ é $\frac{d}{d r} [4 r^{2}] + \frac{d}{d r} [- 4 r] + \frac{d}{d r} [1]$ .

$3 (\frac{d}{d r} [4 r^{2}] + \frac{d}{d r} [- 4 r] + \frac{d}{d r} [1]) + \frac{d}{d r} [6]$

Etapa 1.1.6.3

Como $4$ é constante em relação a $r$ , a derivada de $4 r^{2}$ em relação a $r$ é $4 \frac{d}{d r} [r^{2}]$ .

$3 (4 \frac{d}{d r} [r^{2}] + \frac{d}{d r} [- 4 r] + \frac{d}{d r} [1]) + \frac{d}{d r} [6]$

Etapa 1.1.6.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ é $n r^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 (4 (2 r) + \frac{d}{d r} [- 4 r] + \frac{d}{d r} [1]) + \frac{d}{d r} [6]$

Etapa 1.1.6.5

Como $- 4$ é constante em relação a $r$ , a derivada de $- 4 r$ em relação a $r$ é $- 4 \frac{d}{d r} [r]$ .

$3 (4 (2 r) - 4 \frac{d}{d r} [r] + \frac{d}{d r} [1]) + \frac{d}{d r} [6]$

Etapa 1.1.6.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ é $n r^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 (4 (2 r) - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d r} [1]) + \frac{d}{d r} [6]$

Etapa 1.1.6.7

Como $1$ é constante em relação a $r$ , a derivada de $1$ em relação a $r$ é $0$ .

$3 (4 (2 r) - 4 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d r} [6]$

Etapa 1.1.6.8

Multiplique $2$ por $4$ .

$3 (8 r - 4 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d r} [6]$

Etapa 1.1.6.9

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$3 (8 r - 4 + 0) + \frac{d}{d r} [6]$

Etapa 1.1.6.10

Some $8 r - 4$ e $0$ .

$3 (8 r - 4) + \frac{d}{d r} [6]$

Etapa 1.1.7

Como $6$ é constante em relação a $r$ , a derivada de $6$ em relação a $r$ é $0$ .

$3 (8 r - 4) + 0$

Etapa 1.1.8

Simplifique.

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Etapa 1.1.8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$3 (8 r) + 3 \cdot - 4 + 0$

Etapa 1.1.8.2

Combine os termos.

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Etapa 1.1.8.2.1

Multiplique $8$ por $3$ .

$24 r + 3 \cdot - 4 + 0$

Etapa 1.1.8.2.2

Multiplique $3$ por $- 4$ .

$24 r - 12 + 0$

Etapa 1.1.8.2.3

Some $24 r - 12$ e $0$ .

$24 r - 12$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \frac{\cos (\sqrt{u_{1}})}{\sqrt{u_{1}}} \cdot \frac{1}{12} d u_{1}$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Multiplique $\frac{\cos (\sqrt{u_{1}})}{\sqrt{u_{1}}}$ por $\frac{1}{12}$ .

$\int \frac{\cos (\sqrt{u_{1}})}{\sqrt{u_{1}} \cdot 12} d u_{1}$

Etapa 2.2

Mova $12$ para a esquerda de $\sqrt{u_{1}}$ .

$\int \frac{\cos (\sqrt{u_{1}})}{12 \sqrt{u_{1}}} d u_{1}$

Etapa 3

Como $\frac{1}{12}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{12}$ para fora da integral.

$\frac{1}{12} \int \frac{\cos (\sqrt{u_{1}})}{\sqrt{u_{1}}} d u_{1}$

Etapa 4

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u_{1}}$ como ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{12} \int \frac{\cos ({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}{\sqrt{u_{1}}} d u_{1}$

Etapa 4.2

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u_{1}}$ como ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{12} \int \frac{\cos ({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}{{u_{1}}^{\frac{1}{2}}} d u_{1}$

Etapa 4.3

Mova ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\frac{1}{12} \int \cos ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) {({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u_{1}$

Etapa 4.4

Multiplique os expoentes em ${({u_{1}}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Etapa 4.4.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{12} \int \cos ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) {u_{1}}^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u_{1}$

Etapa 4.4.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$\frac{1}{12} \int \cos ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) {u_{1}}^{\frac{- 1}{2}} d u_{1}$

Etapa 4.4.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{12} \int \cos ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) {u_{1}}^{- \frac{1}{2}} d u_{1}$

Etapa 5

Deixe $u_{2} = {u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ . Depois, $d u_{2} = \frac{1}{2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}} d u_{1}$ , então, $- d u_{2} = \frac{- 1}{2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}} d u_{1}$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 5.1

Deixe $u_{2} = {u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Etapa 5.1.1

Diferencie ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 5.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1}$

Etapa 5.1.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Etapa 5.1.4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Etapa 5.1.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

Etapa 5.1.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.1.6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1 - 2}{2}}$

Etapa 5.1.6.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{- 1}{2}}$

Etapa 5.1.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{- \frac{1}{2}}$

Etapa 5.1.8

Simplifique.

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Etapa 5.1.8.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{{u_{1}}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 5.1.8.2

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{{u_{1}}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 {u_{1}}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 5.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{1}{12} \int 2 \cos (u_{2}) d u_{2}$

Etapa 6

Como $2$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $2$ para fora da integral.

$\frac{1}{12} (2 \int \cos (u_{2}) d u_{2})$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Combine $2$ e $\frac{1}{12}$ .

$\frac{2}{12} \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

Etapa 7.2

Cancele o fator comum de $2$ e $12$ .

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Etapa 7.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 (1)}{12} \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

Etapa 7.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 7.2.2.1

Fatore $2$ de $12$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6} \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

Etapa 7.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 6} \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

Etapa 7.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{6} \int \cos (u_{2}) d u_{2}$

Etapa 8

A integral de $\cos (u_{2})$ com relação a $u_{2}$ é $\sin (u_{2})$ .

$\frac{1}{6} (\sin (u_{2}) + C)$

Etapa 9

Simplifique.

$\frac{1}{6} \sin (u_{2}) + C$

Etapa 10

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

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Etapa 10.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por ${u_{1}}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{6} \sin ({u_{1}}^{\frac{1}{2}}) + C$

Etapa 10.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $3 {(2 r - 1)}^{2} + 6$ .

$\frac{1}{6} \sin ({(3 {(2 r - 1)}^{2} + 6)}^{\frac{1}{2}}) + C$