Cálculo Exemplos

$x = \frac{y^{4}}{4} + \frac{1}{8 y^{2}}$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d y} (x) = \frac{d}{d y} (\frac{y^{4}}{4} + \frac{1}{8 y^{2}})$

Etapa 2

A derivada de $x$ em relação a $y$ é $x'$ .

$x'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{y^{4}}{4} + \frac{1}{8 y^{2}}$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{4}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{8 y^{2}}]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{4}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{8 y^{2}}]$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{4}]$ .

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Etapa 3.2.1

Como $\frac{1}{4}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $\frac{y^{4}}{4}$ em relação a $y$ é $\frac{1}{4} \frac{d}{d y} [y^{4}]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d y} [y^{4}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{8 y^{2}}]$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$\frac{1}{4} (4 y^{3}) + \frac{d}{d y} [\frac{1}{8 y^{2}}]$

Etapa 3.2.3

Combine $4$ e $\frac{1}{4}$ .

$\frac{4}{4} y^{3} + \frac{d}{d y} [\frac{1}{8 y^{2}}]$

Etapa 3.2.4

Combine $\frac{4}{4}$ e $y^{3}$ .

$\frac{4 y^{3}}{4} + \frac{d}{d y} [\frac{1}{8 y^{2}}]$

Etapa 3.2.5

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 3.2.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 y^{3}}{4} + \frac{d}{d y} [\frac{1}{8 y^{2}}]$

Etapa 3.2.5.2

Divida $y^{3}$ por $1$ .

$y^{3} + \frac{d}{d y} [\frac{1}{8 y^{2}}]$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d y} [\frac{1}{8 y^{2}}]$ .

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Etapa 3.3.1

Como $\frac{1}{8}$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $\frac{1}{8 y^{2}}$ em relação a $y$ é $\frac{1}{8} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}]$ .

$y^{3} + \frac{1}{8} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{2}}]$

Etapa 3.3.2

Reescreva $\frac{1}{y^{2}}$ como ${(y^{2})}^{- 1}$ .

$y^{3} + \frac{1}{8} \frac{d}{d y} [{(y^{2})}^{- 1}]$

Etapa 3.3.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ é $f' (g (y)) g' (y)$ , em que $f (y) = y^{- 1}$ e $g (y) = y^{2}$ .

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Etapa 3.3.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y^{2}$ .

$y^{3} + \frac{1}{8} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d y} [y^{2}])$

Etapa 3.3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$y^{3} + \frac{1}{8} (- u^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}])$

Etapa 3.3.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y^{2}$ .

$y^{3} + \frac{1}{8} (- {(y^{2})}^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{2}])$

Etapa 3.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$y^{3} + \frac{1}{8} (- {(y^{2})}^{- 2} (2 y))$

Etapa 3.3.5

Multiplique os expoentes em ${(y^{2})}^{- 2}$ .

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Etapa 3.3.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{3} + \frac{1}{8} (- y^{2 \cdot - 2} (2 y))$

Etapa 3.3.5.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$y^{3} + \frac{1}{8} (- y^{- 4} (2 y))$

Etapa 3.3.6

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$y^{3} + \frac{1}{8} (- 2 y^{- 4} y)$

Etapa 3.3.7

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$y^{3} + \frac{1}{8} (- 2 (y^{1} y^{- 4}))$

Etapa 3.3.8

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$y^{3} + \frac{1}{8} (- 2 y^{1 - 4})$

Etapa 3.3.9

Subtraia $4$ de $1$ .

$y^{3} + \frac{1}{8} (- 2 y^{- 3})$

Etapa 3.3.10

Combine $- 2$ e $\frac{1}{8}$ .

$y^{3} + \frac{- 2}{8} y^{- 3}$

Etapa 3.3.11

Combine $\frac{- 2}{8}$ e $y^{- 3}$ .

$y^{3} + \frac{- 2 y^{- 3}}{8}$

Etapa 3.3.12

Mova $y^{- 3}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y^{3} + \frac{- 2}{8 y^{3}}$

Etapa 3.3.13

Cancele o fator comum de $- 2$ e $8$ .

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Etapa 3.3.13.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$y^{3} + \frac{2 (- 1)}{8 y^{3}}$

Etapa 3.3.13.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.3.13.2.1

Fatore $2$ de $8 y^{3}$ .

$y^{3} + \frac{2 (- 1)}{2 (4 y^{3})}$

Etapa 3.3.13.2.2

Cancele o fator comum.

$y^{3} + \frac{2 \cdot - 1}{2 (4 y^{3})}$

Etapa 3.3.13.2.3

Reescreva a expressão.

$y^{3} + \frac{- 1}{4 y^{3}}$

Etapa 3.3.14

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y^{3} - \frac{1}{4 y^{3}}$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$x' = y^{3} - \frac{1}{4 y^{3}}$

Etapa 5

Substitua $x'$ por $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = y^{3} - \frac{1}{4 y^{3}}$