Cálculo Exemplos

$\frac{x + 1}{4^{x}}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x + 1$ e $g (x) = 4^{x}$ .

$\frac{4^{x} \frac{d}{d x} [x + 1] - (x + 1) \frac{d}{d x} [4^{x}]}{{(4^{x})}^{2}}$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

Multiplique os expoentes em ${(4^{x})}^{2}$ .

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Etapa 2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{4^{x} \frac{d}{d x} [x + 1] - (x + 1) \frac{d}{d x} [4^{x}]}{4^{x \cdot 2}}$

Etapa 2.1.2

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{4^{x} \frac{d}{d x} [x + 1] - (x + 1) \frac{d}{d x} [4^{x}]}{4^{2 x}}$

Etapa 2.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{4^{x} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [4^{x}]}{4^{2 x}}$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{4^{x} (1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [4^{x}]}{4^{2 x}}$

Etapa 2.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{4^{x} (1 + 0) - (x + 1) \frac{d}{d x} [4^{x}]}{4^{2 x}}$

Etapa 2.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.5.1

Some $1$ e $0$ .

$\frac{4^{x} \cdot 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [4^{x}]}{4^{2 x}}$

Etapa 2.5.2

Multiplique $4^{x}$ por $1$ .

$\frac{4^{x} - (x + 1) \frac{d}{d x} [4^{x}]}{4^{2 x}}$

Etapa 3

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $4$ .

$\frac{4^{x} - (x + 1) (4^{x} \ln (4))}{4^{2 x}}$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{4^{x} + (- x - 1 \cdot 1) (4^{x} \ln (4))}{4^{2 x}}$

Etapa 4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{4^{x} - x (4^{x} \ln (4)) - 1 \cdot 1 (4^{x} \ln (4))}{4^{2 x}}$

Etapa 4.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.3.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{4^{x} - x (4^{x} \ln (4)) - 1 (4^{x} \ln (4))}{4^{2 x}}$

Etapa 4.3.2

Reescreva $- 1 (4^{x} \ln (4))$ como $- (4^{x} \ln (4))$ .

$\frac{4^{x} - x (4^{x} \ln (4)) - 4^{x} \ln (4)}{4^{2 x}}$

$\frac{4^{x} - x \cdot 4^{x} \ln (4) - 4^{x} \ln (4)}{4^{2 x}}$

Etapa 4.4

Reordene os termos.

$\frac{- 4^{x} x \ln (4) - 4^{x} \ln (4) + 4^{x}}{4^{2 x}}$