Cálculo Exemplos

$\frac{1}{2 \sqrt{x}} d x$

Etapa 1

Escreva $\frac{1}{2 \sqrt{x}} d x$ como uma função.

$f (x) = \frac{1}{2 \sqrt{x}} d x$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot (d x) d x$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Combine $d$ e $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ .

$\int \frac{d}{2 \sqrt{x}} \cdot x d x$

Etapa 4.2

Combine $\frac{d}{2 \sqrt{x}}$ e $x$ .

$\int \frac{d x}{2 \sqrt{x}} d x$

Etapa 5

Como $\frac{d}{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{d}{2}$ para fora da integral.

$\frac{d}{2} \int \frac{x}{\sqrt{x}} d x$

Etapa 6

Simplifique a expressão.

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Etapa 6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{2} \int \frac{x}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Etapa 6.2

Simplifique.

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Etapa 6.2.1

Mova $x^{\frac{1}{2}}$ para o numerador usando a regra do expoente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{d}{2} \int x \cdot x^{- \frac{1}{2}} d x$

Etapa 6.2.2

Multiplique $x$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 6.2.2.1

Multiplique $x$ por $x^{- \frac{1}{2}}$ .

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Etapa 6.2.2.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{d}{2} \int x^{1} x^{- \frac{1}{2}} d x$

Etapa 6.2.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{d}{2} \int x^{1 - \frac{1}{2}} d x$

Etapa 6.2.2.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\frac{d}{2} \int x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} d x$

Etapa 6.2.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{d}{2} \int x^{\frac{2 - 1}{2}} d x$

Etapa 6.2.2.4

Subtraia $1$ de $2$ .

$\frac{d}{2} \int x^{\frac{1}{2}} d x$

Etapa 7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{\frac{1}{2}}$ com relação a $x$ é $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{d}{2} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$

Etapa 8

Simplifique a resposta.

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Etapa 8.1

Combine $\frac{2}{3}$ e $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{d}{2} (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C)$

Etapa 8.2

Reescreva $\frac{d}{2} (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C)$ como $\frac{1}{2} d \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$ .

$\frac{1}{2} d \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Etapa 8.3

Simplifique.

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Etapa 8.3.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $d$ .

$\frac{d}{2} \cdot \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Etapa 8.3.2

Multiplique $\frac{d}{2}$ por $\frac{2}{3}$ .

$\frac{d \cdot 2}{2 \cdot 3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Etapa 8.3.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{d \cdot 2}{6} x^{\frac{3}{2}} + C$

Etapa 8.3.4

Mova $2$ para a esquerda de $d$ .

$\frac{2 \cdot d}{6} x^{\frac{3}{2}} + C$

Etapa 8.3.5

Cancele o fator comum de $2$ e $6$ .

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Etapa 8.3.5.1

Fatore $2$ de $2 d$ .

$\frac{2 (d)}{6} x^{\frac{3}{2}} + C$

Etapa 8.3.5.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 8.3.5.2.1

Fatore $2$ de $6$ .

$\frac{2 d}{2 \cdot 3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Etapa 8.3.5.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 d}{2 \cdot 3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Etapa 8.3.5.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{d}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$

Etapa 8.3.6

Combine $\frac{d}{3}$ e $x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{d x^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

$\frac{1}{3} d x^{\frac{3}{2}} + C$

Etapa 9

A resposta é a primitiva da função $f (x) = \frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot (d x)$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{3} d x^{\frac{3}{2}} + C$