Cálculo Exemplos

$\sqrt{1 + 4 x^{2}}$

Etapa 1

Escreva $\sqrt{1 + 4 x^{2}}$ como uma função.

$f (x) = \sqrt{1 + 4 x^{2}}$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int \sqrt{1 + 4 x^{2}} d x$

Etapa 4

Deixe $x = \frac{1}{2} \tan (t)$ , em que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Depois, $d x = \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$ . Como $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\frac{\sec^{2} (t)}{2}$ é positivo.

$\int \sqrt{1 + 4 {(\frac{1}{2} \tan (t))}^{2}} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 5

Simplifique os termos.

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Etapa 5.1

Simplifique $\sqrt{1 + 4 {(\frac{1}{2} \tan (t))}^{2}}$ .

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Etapa 5.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.1.1.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $\tan (t)$ .

$\int \sqrt{1 + 4 {(\frac{\tan (t)}{2})}^{2}} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 5.1.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{\tan (t)}{2}$ .

$\int \sqrt{1 + 4 \frac{\tan^{2} (t)}{2^{2}}} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 5.1.1.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\int \sqrt{1 + 4 \frac{\tan^{2} (t)}{4}} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 5.1.1.4

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 5.1.1.4.1

Cancele o fator comum.

$\int \sqrt{1 + 4 \frac{\tan^{2} (t)}{4}} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 5.1.1.4.2

Reescreva a expressão.

$\int \sqrt{1 + \tan^{2} (t)} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 5.1.2

Reorganize os termos.

$\int \sqrt{\tan^{2} (t) + 1} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 5.1.3

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\int \sqrt{\sec^{2} (t)} \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 5.1.4

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\int \sec (t) \frac{\sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 5.2

Simplifique.

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Etapa 5.2.1

Combine $\sec (t)$ e $\frac{\sec^{2} (t)}{2}$ .

$\int \frac{\sec (t) \sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 5.2.2

Multiplique $\sec (t)$ por $\sec^{2} (t)$ somando os expoentes.

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Etapa 5.2.2.1

Multiplique $\sec (t)$ por $\sec^{2} (t)$ .

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Etapa 5.2.2.1.1

Eleve $\sec (t)$ à potência de $1$ .

$\int \frac{\sec^{1} (t) \sec^{2} (t)}{2} d t$

Etapa 5.2.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int \frac{{\sec (t)}^{1 + 2}}{2} d t$

Etapa 5.2.2.2

Some $1$ e $2$ .

$\int \frac{\sec^{3} (t)}{2} d t$

Etapa 6

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $t$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int \sec^{3} (t) d t$

Etapa 7

Fatore $\sec (t)$ de $\sec^{3} (t)$ .

$\frac{1}{2} \int \sec (t) \sec^{2} (t) d t$

Etapa 8

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = \sec (t)$ e $d v = \sec^{2} (t)$ .

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int \tan (t) (\sec (t) \tan (t)) d t)$

Etapa 9

Eleve $\tan (t)$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan (t) \sec (t) d t)$

Etapa 10

Eleve $\tan (t)$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int \tan^{1} (t) \tan^{1} (t) \sec (t) d t)$

Etapa 11

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int {\tan (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t)$

Etapa 12

Simplifique a expressão.

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Etapa 12.1

Some $1$ e $1$ .

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int \tan^{2} (t) \sec (t) d t)$

Etapa 12.2

Reordene $\tan^{2} (t)$ e $\sec (t)$ .

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \tan^{2} (t) d t)$

Etapa 13

Usando a fórmula de Pitágoras, reescreva $\tan^{2} (t)$ como $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec^{2} (t)) d t)$

Etapa 14

Simplifique multiplicando.

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Etapa 14.1

Reescreva a exponenciação como um produto.

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) (- 1 + \sec (t) \sec (t)) d t)$

Etapa 14.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int \sec (t) \cdot - 1 + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t)$

Etapa 14.3

Reordene $\sec (t)$ e $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \cdot \sec (t) + \sec (t) (\sec (t) \sec (t)) d t)$

Etapa 15

Eleve $\sec (t)$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec (t) \sec (t) d t)$

Etapa 16

Eleve $\sec (t)$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{1} (t) \sec^{1} (t) \sec (t) d t)$

Etapa 17

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{1 + 1} \sec (t) d t)$

Etapa 18

Some $1$ e $1$ .

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec (t) d t)$

Etapa 19

Eleve $\sec (t)$ à potência de $1$ .

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{2} (t) \sec^{1} (t) d t)$

Etapa 20

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + {\sec (t)}^{2 + 1} d t)$

Etapa 21

Some $2$ e $1$ .

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - \int - 1 \sec (t) + \sec^{3} (t) d t)$

Etapa 22

Divida a integral única em várias integrais.

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - (\int - 1 \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t))$

Etapa 23

Como $- 1$ é constante com relação a $t$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - (- \int \sec (t) d t + \int \sec^{3} (t) d t))$

Etapa 24

A integral de $\sec (t)$ com relação a $t$ é $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |)$ .

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - (- (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) + \int \sec^{3} (t) d t))$

Etapa 25

Simplifique multiplicando.

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Etapa 25.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) - - (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t)$

Etapa 25.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C) - \int \sec^{3} (t) d t)$

Etapa 26

Ao resolver $\int \sec^{3} (t) d t$ , descobrimos que $\int \sec^{3} (t) d t$ = $\frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2}$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\sec (t) \tan (t) + 1 (\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C)}{2} + C)$

Etapa 27

Multiplique $\ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C$ por $1$ .

$\frac{1}{2} (\frac{\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |) + C}{2} + C)$

Etapa 28

Simplifique.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

Etapa 29

Simplifique.

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Etapa 29.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

Etapa 29.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{1}{4} (\sec (t) \tan (t) + \ln (| \sec (t) + \tan (t) |)) + C$

Etapa 30

Substitua todas as ocorrências de $t$ por $\arctan (2 x)$ .

$\frac{1}{4} (\sec (\arctan (2 x)) \tan (\arctan (2 x)) + \ln (| \sec (\arctan (2 x)) + \tan (\arctan (2 x)) |)) + C$

Etapa 31

Simplifique.

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Etapa 31.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 31.1.1

Desenhe um triângulo no plano com os vértices $(1, 2 x)$ , $(1, 0)$ e a origem. Então, $\arctan (2 x)$ será o ângulo entre o eixo x positivo e o raio que começa na origem e cruza $(1, 2 x)$ . Portanto, $\sec (\arctan (2 x))$ é $\sqrt{1 + {(2 x)}^{2}}$ .

$\frac{1}{4} (\sqrt{1 + {(2 x)}^{2}} \tan (\arctan (2 x)) + \ln (| \sec (\arctan (2 x)) + \tan (\arctan (2 x)) |)) + C$

Etapa 31.1.2

Aplique a regra do produto a $2 x$ .

$\frac{1}{4} (\sqrt{1 + 2^{2} x^{2}} \tan (\arctan (2 x)) + \ln (| \sec (\arctan (2 x)) + \tan (\arctan (2 x)) |)) + C$

Etapa 31.1.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{1}{4} (\sqrt{1 + 4 x^{2}} \tan (\arctan (2 x)) + \ln (| \sec (\arctan (2 x)) + \tan (\arctan (2 x)) |)) + C$

Etapa 31.1.4

As funções tangente e arco tangente são inversos.

$\frac{1}{4} (\sqrt{1 + 4 x^{2}} (2 x) + \ln (| \sec (\arctan (2 x)) + \tan (\arctan (2 x)) |)) + C$

Etapa 31.1.5

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{1}{4} (2 \sqrt{1 + 4 x^{2}} x + \ln (| \sec (\arctan (2 x)) + \tan (\arctan (2 x)) |)) + C$

Etapa 31.1.6

Simplifique cada termo.

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Etapa 31.1.6.1

$\frac{1}{4} (2 \sqrt{1 + 4 x^{2}} x + \ln (| \sqrt{1 + {(2 x)}^{2}} + \tan (\arctan (2 x)) |)) + C$

Etapa 31.1.6.2

Aplique a regra do produto a $2 x$ .

$\frac{1}{4} (2 \sqrt{1 + 4 x^{2}} x + \ln (| \sqrt{1 + 2^{2} x^{2}} + \tan (\arctan (2 x)) |)) + C$

Etapa 31.1.6.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{1}{4} (2 \sqrt{1 + 4 x^{2}} x + \ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + \tan (\arctan (2 x)) |)) + C$

Etapa 31.1.6.4

As funções tangente e arco tangente são inversos.

$\frac{1}{4} (2 \sqrt{1 + 4 x^{2}} x + \ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |)) + C$

Etapa 31.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{1}{4} (2 \sqrt{1 + 4 x^{2}} x) + \frac{1}{4} \ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |) + C$

Etapa 31.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 31.3.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{1}{2 (2)} (2 \sqrt{1 + 4 x^{2}} x) + \frac{1}{4} \ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |) + C$

Etapa 31.3.2

Fatore $2$ de $2 \sqrt{1 + 4 x^{2}} x$ .

$\frac{1}{2 (2)} (2 (\sqrt{1 + 4 x^{2}} x)) + \frac{1}{4} \ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |) + C$

Etapa 31.3.3

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{2 \cdot 2} (2 (\sqrt{1 + 4 x^{2}} x)) + \frac{1}{4} \ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |) + C$

Etapa 31.3.4

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{2} (\sqrt{1 + 4 x^{2}} x) + \frac{1}{4} \ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |) + C$

Etapa 31.4

Combine $\sqrt{1 + 4 x^{2}}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}{2} x + \frac{1}{4} \ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |) + C$

Etapa 31.5

Combine $\frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}}}{2}$ e $x$ .

$\frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}} x}{2} + \frac{1}{4} \ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |) + C$

Etapa 31.6

Combine $\frac{1}{4}$ e $\ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |)$ .

$\frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}} x}{2} + \frac{\ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |)}{4} + C$

Etapa 31.7

Para escrever $\frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}} x}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}} x}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{\ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |)}{4} + C$

Etapa 31.8

Escreva cada expressão com um denominador comum de $4$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 31.8.1

Multiplique $\frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}} x}{2}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}} x \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{\ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |)}{4} + C$

Etapa 31.8.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}} x \cdot 2}{4} + \frac{\ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |)}{4} + C$

Etapa 31.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\sqrt{1 + 4 x^{2}} x \cdot 2 + \ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |)}{4} + C$

Etapa 31.10

Mova $2$ para a esquerda de $\sqrt{1 + 4 x^{2}} x$ .

$\frac{2 \sqrt{1 + 4 x^{2}} x + \ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |)}{4} + C$

Etapa 32

Reordene os termos.

$\frac{1}{4} (2 \sqrt{1 + 4 x^{2}} x + \ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |)) + C$

Etapa 33

A resposta é a primitiva da função $f (x) = \sqrt{1 + 4 x^{2}}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{4} (2 \sqrt{1 + 4 x^{2}} x + \ln (| \sqrt{1 + 4 x^{2}} + 2 x |)) + C$