Cálculo Exemplos

$y = - 1 + 3 \cos (\frac{3}{2} x)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 1 + 3 \cos (\frac{3}{2} x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [3 \cos (\frac{3}{2} x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [3 \cos (\frac{3}{2} x)]$

Etapa 1.1.2

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [3 \cos (\frac{3}{2} x)]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [3 \cos (\frac{3}{2} x)]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Combine $\frac{3}{2}$ e $x$ .

$0 + \frac{d}{d x} [3 \cos (\frac{3 x}{2})]$

Etapa 1.2.2

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 \cos (\frac{3 x}{2})$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [\cos (\frac{3 x}{2})]$ .

$0 + 3 \frac{d}{d x} [\cos (\frac{3 x}{2})]$

Etapa 1.2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = \frac{3 x}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{3 x}{2}$ .

$0 + 3 (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [\frac{3 x}{2}])$

Etapa 1.2.3.2

A derivada de $\cos (u)$ em relação a $u$ é $- \sin (u)$ .

$0 + 3 (- \sin (u) \frac{d}{d x} [\frac{3 x}{2}])$

Etapa 1.2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{3 x}{2}$ .

$0 + 3 (- \sin (\frac{3 x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{3 x}{2}])$

Etapa 1.2.4

Como $\frac{3}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{3 x}{2}$ em relação a $x$ é $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + 3 (- \sin (\frac{3 x}{2}) (\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 1.2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 + 3 (- \sin (\frac{3 x}{2}) (\frac{3}{2} \cdot 1))$

Etapa 1.2.6

Multiplique $\frac{3}{2}$ por $1$ .

$0 + 3 (- \sin (\frac{3 x}{2}) \frac{3}{2})$

Etapa 1.2.7

Combine $\frac{3}{2}$ e $\sin (\frac{3 x}{2})$ .

$0 + 3 (- \frac{3 \sin (\frac{3 x}{2})}{2})$

Etapa 1.2.8

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$0 - 3 \frac{3 \sin (\frac{3 x}{2})}{2}$

Etapa 1.2.9

Combine $- 3$ e $\frac{3 \sin (\frac{3 x}{2})}{2}$ .

$0 + \frac{- 3 (3 \sin (\frac{3 x}{2}))}{2}$

Etapa 1.2.10

Multiplique $3$ por $- 3$ .

$0 + \frac{- 9 \sin (\frac{3 x}{2})}{2}$

Etapa 1.2.11

Mova o número negativo para a frente da fração.

$0 - \frac{9 \sin (\frac{3 x}{2})}{2}$

Etapa 1.3

Subtraia $\frac{9 \sin (\frac{3 x}{2})}{2}$ de $0$ .

$- \frac{9 \sin (\frac{3 x}{2})}{2}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Como $- \frac{9}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{9 \sin (\frac{3 x}{2})}{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{9}{2} \frac{d}{d x} [\sin (\frac{3 x}{2})]$ .

$f'' (x) = - \frac{9}{2} \cdot \frac{d}{d x} \sin (\frac{3 x}{2})$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = \frac{3 x}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{3 x}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{9}{2} \cdot (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (\frac{3 x}{2}))$

Etapa 2.2.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$f'' (x) = - \frac{9}{2} \cdot (\cos (u) \frac{d}{d x} (\frac{3 x}{2}))$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{3 x}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{9}{2} \cdot (\cos (\frac{3 x}{2}) \frac{d}{d x} (\frac{3 x}{2}))$

Etapa 2.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Combine $\cos (\frac{3 x}{2})$ e $\frac{9}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{\cos (\frac{3 x}{2}) \cdot 9}{2} \cdot \frac{d}{d x} \frac{3 x}{2}$

Etapa 2.3.2

Mova $9$ para a esquerda de $\cos (\frac{3 x}{2})$ .

$f'' (x) = - \frac{9 \cdot \cos (\frac{3 x}{2})}{2} \cdot \frac{d}{d x} \frac{3 x}{2}$

Etapa 2.3.3

Como $\frac{3}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{3 x}{2}$ em relação a $x$ é $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - \frac{9 \cos (\frac{3 x}{2})}{2} \cdot (\frac{3}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 2.3.4

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.4.1

Multiplique $\frac{3}{2}$ por $\frac{9 \cos (\frac{3 x}{2})}{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{3 (9 \cos (\frac{3 x}{2}))}{2 \cdot 2} \cdot \frac{d}{d x} x$

Etapa 2.3.4.2

Multiplique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.4.2.1

Multiplique $9$ por $3$ .

$f'' (x) = - \frac{27 \cos (\frac{3 x}{2})}{2 \cdot 2} \cdot \frac{d}{d x} x$

Etapa 2.3.4.2.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$f'' (x) = - \frac{27 \cos (\frac{3 x}{2})}{4} \cdot \frac{d}{d x} x$

Etapa 2.3.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = - \frac{27 \cos (\frac{3 x}{2})}{4} \cdot 1$

Etapa 2.3.6

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f'' (x) = - \frac{27 \cos (\frac{3 x}{2})}{4}$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$- \frac{9 \sin (\frac{3 x}{2})}{2} = 0$

Etapa 4

Defina o numerador como igual a zero.

$9 \sin (\frac{3 x}{2}) = 0$

Etapa 5

Resolva a equação para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Divida cada termo em $9 \sin (\frac{3 x}{2}) = 0$ por $9$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Divida cada termo em $9 \sin (\frac{3 x}{2}) = 0$ por $9$ .

$\frac{9 \sin (\frac{3 x}{2})}{9} = \frac{0}{9}$

Etapa 5.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.1

Cancele o fator comum de $9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{9 \sin (\frac{3 x}{2})}{9} = \frac{0}{9}$

Etapa 5.1.2.1.2

Divida $\sin (\frac{3 x}{2})$ por $1$ .

$\sin (\frac{3 x}{2}) = \frac{0}{9}$

Etapa 5.1.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.3.1

Divida $0$ por $9$ .

$\sin (\frac{3 x}{2}) = 0$

Etapa 5.2

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$\frac{3 x}{2} = \arcsin (0)$

Etapa 5.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

O valor exato de $\arcsin (0)$ é $0$ .

$\frac{3 x}{2} = 0$

Etapa 5.4

Defina o numerador como igual a zero.

$3 x = 0$

Etapa 5.5

Divida cada termo em $3 x = 0$ por $3$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1

Divida cada termo em $3 x = 0$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

Etapa 5.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x}{3} = \frac{0}{3}$

Etapa 5.5.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{3}$

Etapa 5.5.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.3.1

Divida $0$ por $3$ .

$x = 0$

Etapa 5.6

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$\frac{3 x}{2} = π - 0$

Etapa 5.7

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.7.1

Multiplique os dois lados da equação por $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 x}{2} = \frac{2}{3} (π - 0)$

Etapa 5.7.2

Simplifique os dois lados da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.7.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.7.2.1.1

Simplifique $\frac{2}{3} \cdot \frac{3 x}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.7.2.1.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.7.2.1.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 x}{2} = \frac{2}{3} (π - 0)$

Etapa 5.7.2.1.1.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{3} (3 x) = \frac{2}{3} (π - 0)$

Etapa 5.7.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.7.2.1.1.2.1

Fatore $3$ de $3 x$ .

$\frac{1}{3} (3 (x)) = \frac{2}{3} (π - 0)$

Etapa 5.7.2.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{3} (3 x) = \frac{2}{3} (π - 0)$

Etapa 5.7.2.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$x = \frac{2}{3} (π - 0)$

Etapa 5.7.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.7.2.2.1

Simplifique $\frac{2}{3} (π - 0)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.7.2.2.1.1

Subtraia $0$ de $π$ .

$x = \frac{2}{3} π$

Etapa 5.7.2.2.1.2

Combine $\frac{2}{3}$ e $π$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Etapa 5.8

A solução para a equação $\frac{3 x}{2} = 0$ .

$x = 0, \frac{2 π}{3}$

Etapa 6

Avalie a segunda derivada em $x = 0$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- \frac{27 \cos (\frac{3 (0)}{2})}{4}$

Etapa 7

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Cancele o fator comum de $0$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1

Fatore $2$ de $3 (0)$ .

$- \frac{27 \cos (\frac{2 (3 \cdot (0))}{2})}{4}$

Etapa 7.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$- \frac{27 \cos (\frac{2 (3 \cdot (0))}{2 (1)})}{4}$

Etapa 7.1.2.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{27 \cos (\frac{2 (3 \cdot (0))}{2 \cdot 1})}{4}$

Etapa 7.1.2.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{27 \cos (\frac{3 \cdot (0)}{1})}{4}$

Etapa 7.1.2.4

Divida $3 \cdot (0)$ por $1$ .

$- \frac{27 \cos (3 \cdot (0))}{4}$

Etapa 7.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Multiplique $3$ por $0$ .

$- \frac{27 \cos (0)}{4}$

Etapa 7.2.2

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$- \frac{27 \cdot 1}{4}$

Etapa 7.3

Multiplique $27$ por $1$ .

$- \frac{27}{4}$

Etapa 8

$x = 0$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 0$ é um máximo local

Etapa 9

Encontre o valor y quando $x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = - 1 + 3 \cos (\frac{3}{2} \cdot (0))$

Etapa 9.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1.1

Multiplique $\frac{3}{2}$ por $0$ .

$f (0) = - 1 + 3 \cos (0)$

Etapa 9.2.1.2

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$f (0) = - 1 + 3 \cdot 1$

Etapa 9.2.1.3

Multiplique $3$ por $1$ .

$f (0) = - 1 + 3$

Etapa 9.2.2

Some $- 1$ e $3$ .

$f (0) = 2$

Etapa 9.2.3

A resposta final é $2$ .

$y = 2$

Etapa 10

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{2 π}{3}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- \frac{27 \cos (\frac{3 (\frac{2 π}{3})}{2})}{4}$

Etapa 11

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Combine $3$ e $\frac{2 π}{3}$ .

$- \frac{27 \cos (\frac{\frac{3 (2 π)}{3}}{2})}{4}$

Etapa 11.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$- \frac{27 \cos (\frac{\frac{6 π}{3}}{2})}{4}$

Etapa 11.3

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.3.1

Reduza a expressão $\frac{6 π}{3}$ cancelando os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.3.1.1

Fatore $3$ de $6 π$ .

$- \frac{27 \cos (\frac{\frac{3 (2 π)}{3}}{2})}{4}$

Etapa 11.3.1.2

Fatore $3$ de $3$ .

$- \frac{27 \cos (\frac{\frac{3 (2 π)}{3 (1)}}{2})}{4}$

Etapa 11.3.1.3

Cancele o fator comum.

$- \frac{27 \cos (\frac{\frac{3 (2 π)}{3 \cdot 1}}{2})}{4}$

Etapa 11.3.1.4

Reescreva a expressão.

$- \frac{27 \cos (\frac{\frac{2 π}{1}}{2})}{4}$

Etapa 11.3.2

Divida $2 π$ por $1$ .

$- \frac{27 \cos (\frac{2 π}{2})}{4}$

Etapa 11.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.4.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.4.1.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{27 \cos (\frac{2 π}{2})}{4}$

Etapa 11.4.1.2

Divida $π$ por $1$ .

$- \frac{27 \cos (π)}{4}$

Etapa 11.4.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$- \frac{27 (- \cos (0))}{4}$

Etapa 11.4.3

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$- \frac{27 (- 1 \cdot 1)}{4}$

Etapa 11.4.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- \frac{27 \cdot - 1}{4}$

Etapa 11.5

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.5.1

Multiplique $27$ por $- 1$ .

$- \frac{- 27}{4}$

Etapa 11.5.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- - \frac{27}{4}$

Etapa 11.6

Multiplique $- - \frac{27}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.6.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 (\frac{27}{4})$

Etapa 11.6.2

Multiplique $\frac{27}{4}$ por $1$ .

$\frac{27}{4}$

Etapa 12

$x = \frac{2 π}{3}$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \frac{2 π}{3}$ é um mínimo local

Etapa 13

Encontre o valor y quando $x = \frac{2 π}{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{2 π}{3}$ na expressão.

$f (\frac{2 π}{3}) = - 1 + 3 \cos (\frac{3}{2} \cdot (\frac{2 π}{3}))$

Etapa 13.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.1.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{2 π}{3}) = - 1 + 3 \cos (\frac{3}{2} \cdot \frac{2 π}{3})$

Etapa 13.2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{2 π}{3}) = - 1 + 3 \cos (\frac{1}{2} \cdot (2 π))$

Etapa 13.2.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.1.2.1

Fatore $2$ de $2 π$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - 1 + 3 \cos (\frac{1}{2} \cdot (2 (π)))$

Etapa 13.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{2 π}{3}) = - 1 + 3 \cos (\frac{1}{2} \cdot (2 π))$

Etapa 13.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{2 π}{3}) = - 1 + 3 \cos (π)$

Etapa 13.2.1.3

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$f (\frac{2 π}{3}) = - 1 + 3 (- \cos (0))$

Etapa 13.2.1.4

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - 1 + 3 (- 1 \cdot 1)$

Etapa 13.2.1.5

Multiplique $3 (- 1 \cdot 1)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.1.5.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - 1 + 3 \cdot - 1$

Etapa 13.2.1.5.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - 1 - 3$

Etapa 13.2.2

Subtraia $3$ de $- 1$ .

$f (\frac{2 π}{3}) = - 4$

Etapa 13.2.3

A resposta final é $- 4$ .

$y = - 4$

Etapa 14

Esses são os extremos locais para $f (x) = - 1 + 3 \cos (\frac{3}{2} x)$ .

$(0, 2)$ é um máximo local

$(\frac{2 π}{3}, - 4)$ é um mínimo local

Etapa 15