Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 12} \frac{12 - x}{4 x - 48}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 12} 12 - x}{lim_{x \to 12} 4 x - 48}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.1.2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $12$ .

$\frac{lim_{x \to 12} 12 - lim_{x \to 12} x}{lim_{x \to 12} 4 x - 48}$

Etapa 1.1.2.2

Avalie o limite de $12$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $12$ .

$\frac{12 - lim_{x \to 12} x}{lim_{x \to 12} 4 x - 48}$

Etapa 1.1.2.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1.2.3.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $12$ por $x$ .

$\frac{12 - 12}{lim_{x \to 12} 4 x - 48}$

Etapa 1.1.2.3.2

Subtraia $12$ de $12$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 12} 4 x - 48}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.1.3.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.1.3.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $12$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 12} 4 x - lim_{x \to 12} 48}$

Etapa 1.1.3.1.2

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{0}{4 lim_{x \to 12} x - lim_{x \to 12} 48}$

Etapa 1.1.3.1.3

Avalie o limite de $48$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $12$ .

$\frac{0}{4 lim_{x \to 12} x - 1 \cdot 48}$

Etapa 1.1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $12$ por $x$ .

$\frac{0}{4 \cdot 12 - 1 \cdot 48}$

Etapa 1.1.3.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.3.3.1.1

Multiplique $4$ por $12$ .

$\frac{0}{48 - 1 \cdot 48}$

Etapa 1.1.3.3.1.2

Multiplique $- 1$ por $48$ .

$\frac{0}{48 - 48}$

Etapa 1.1.3.3.2

Subtraia $48$ de $48$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 12} \frac{12 - x}{4 x - 48} = lim_{x \to 12} \frac{\frac{d}{d x} [12 - x]}{\frac{d}{d x} [4 x - 48]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 12} \frac{\frac{d}{d x} [12 - x]}{\frac{d}{d x} [4 x - 48]}$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $12 - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [12] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 12} \frac{\frac{d}{d x} [12] + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [4 x - 48]}$

Etapa 1.3.3

Como $12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $12$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 12} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [4 x - 48]}$

Etapa 1.3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Etapa 1.3.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 12} \frac{0 - \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [4 x - 48]}$

Etapa 1.3.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 12} \frac{0 - 1 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [4 x - 48]}$

Etapa 1.3.4.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$lim_{x \to 12} \frac{0 - 1}{\frac{d}{d x} [4 x - 48]}$

Etapa 1.3.5

Subtraia $1$ de $0$ .

$lim_{x \to 12} \frac{- 1}{\frac{d}{d x} [4 x - 48]}$

Etapa 1.3.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x - 48$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 48]$ .

$lim_{x \to 12} \frac{- 1}{\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 48]}$

Etapa 1.3.7

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Etapa 1.3.7.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 12} \frac{- 1}{4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 48]}$

Etapa 1.3.7.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 12} \frac{- 1}{4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 48]}$

Etapa 1.3.7.3

Multiplique $4$ por $1$ .

$lim_{x \to 12} \frac{- 1}{4 + \frac{d}{d x} [- 48]}$

Etapa 1.3.8

Como $- 48$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 48$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 12} \frac{- 1}{4 + 0}$

Etapa 1.3.9

Some $4$ e $0$ .

$lim_{x \to 12} \frac{- 1}{4}$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Avalie o limite de $\frac{- 1}{4}$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $12$ .

$\frac{- 1}{4}$

Etapa 2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{4}$

Etapa 3

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- \frac{1}{4}$

Forma decimal:

$- 0.25$