Cálculo Exemplos

$\int 9 x^{2} \sqrt{x^{3} - 1} d x$

Etapa 1

Como $9$ é constante com relação a $x$ , mova $9$ para fora da integral.

$9 \int x^{2} \sqrt{x^{3} - 1} d x$

Etapa 2

Deixe $u = x^{3} - 1$ . Depois, $d u = 3 x^{2} d x$ , então, $\frac{1}{3} d u = x^{2} d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 2.1

Deixe $u = x^{3} - 1$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Diferencie $x^{3} - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} - 1]$

Etapa 2.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 2.1.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$3 x^{2} + 0$

Etapa 2.1.5

Some $3 x^{2}$ e $0$ .

$3 x^{2}$

Etapa 2.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$9 \int \sqrt{u} \frac{1}{3} d u$

Etapa 3

Combine $\sqrt{u}$ e $\frac{1}{3}$ .

$9 \int \frac{\sqrt{u}}{3} d u$

Etapa 4

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$9 (\frac{1}{3} \int \sqrt{u} d u)$

Etapa 5

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.1

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $9$ .

$\frac{9}{3} \int \sqrt{u} d u$

Etapa 5.1.2

Cancele o fator comum de $9$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.1

Fatore $3$ de $9$ .

$\frac{3 \cdot 3}{3} \int \sqrt{u} d u$

Etapa 5.1.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1.2.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$\frac{3 \cdot 3}{3 (1)} \int \sqrt{u} d u$

Etapa 5.1.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 \cdot 3}{3 \cdot 1} \int \sqrt{u} d u$

Etapa 5.1.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{3}{1} \int \sqrt{u} d u$

Etapa 5.1.2.2.4

Divida $3$ por $1$ .

$3 \int \sqrt{u} d u$

Etapa 5.2

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$3 \int u^{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{\frac{1}{2}}$ com relação a $u$ é $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$3 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$

Etapa 7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Reescreva $3 (\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C)$ como $3 (\frac{2}{3}) u^{\frac{3}{2}} + C$ .

$3 (\frac{2}{3}) u^{\frac{3}{2}} + C$

Etapa 7.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Combine $3$ e $\frac{2}{3}$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Etapa 7.2.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{6}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Etapa 7.2.3

Cancele o fator comum de $6$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.3.1

Fatore $3$ de $6$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Etapa 7.2.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.3.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$\frac{3 \cdot 2}{3 (1)} u^{\frac{3}{2}} + C$

Etapa 7.2.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} u^{\frac{3}{2}} + C$

Etapa 7.2.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2}{1} u^{\frac{3}{2}} + C$

Etapa 7.2.3.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$2 u^{\frac{3}{2}} + C$

Etapa 8

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{3} - 1$ .

$2 {(x^{3} - 1)}^{\frac{3}{2}} + C$