Cálculo Exemplos

${(x y)}^{x} = e$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d y} ({(x y)}^{x}) = \frac{d}{d y} (e)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências generalizada, que determina que $\frac{d}{d y} [f^{g}]$ é $f^{g} (f' \frac{g}{f} + g' \ln (f))$ , em que $f = x y$ e $g = x$ .

$\frac{d}{d y} [x y] (x {(x y)}^{x - 1}) + \frac{d}{d y} [x] ({(x y)}^{x} \ln (x y))$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ é $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ , em que $f (y) = x$ e $g (y) = y$ .

$(x \frac{d}{d y} [y] + y \frac{d}{d y} [x]) (x {(x y)}^{x - 1}) + \frac{d}{d y} [x] ({(x y)}^{x} \ln (x y))$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 2.3.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$(x \cdot 1 + y \frac{d}{d y} [x]) x {(x y)}^{x - 1} + \frac{d}{d y} [x] ({(x y)}^{x} \ln (x y))$

Etapa 2.3.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$(x + y \frac{d}{d y} [x]) x {(x y)}^{x - 1} + \frac{d}{d y} [x] ({(x y)}^{x} \ln (x y))$

Etapa 2.4

Reescreva $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$(x + y x') x {(x y)}^{x - 1} + \frac{d}{d y} [x] ({(x y)}^{x} \ln (x y))$

Etapa 2.5

Reescreva $\frac{d}{d y} [x]$ como $x'$ .

$(x + y x') x {(x y)}^{x - 1} + x' ({(x y)}^{x} \ln (x y))$

Etapa 2.6

Simplifique.

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Etapa 2.6.1

Aplique a regra do produto a $x y$ .

$(x + y x') x (x^{x - 1} y^{x - 1}) + x' ({(x y)}^{x} \ln (x y))$

Etapa 2.6.2

Aplique a regra do produto a $x y$ .

$(x + y x') x (x^{x - 1} y^{x - 1}) + x' (x^{x} y^{x} \ln (x y))$

Etapa 2.6.3

Aplique a propriedade distributiva.

$(x \cdot x + y x' x) (x^{x - 1} y^{x - 1}) + x' (x^{x} y^{x} \ln (x y))$

Etapa 2.6.4

Combine os termos.

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Etapa 2.6.4.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$(x^{1} x + y x' x) (x^{x - 1} y^{x - 1}) + x' (x^{x} y^{x} \ln (x y))$

Etapa 2.6.4.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$(x^{1} x^{1} + y x' x) (x^{x - 1} y^{x - 1}) + x' (x^{x} y^{x} \ln (x y))$

Etapa 2.6.4.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$(x^{1 + 1} + y x' x) (x^{x - 1} y^{x - 1}) + x' (x^{x} y^{x} \ln (x y))$

Etapa 2.6.4.4

Some $1$ e $1$ .

$(x^{2} + y x' x) x^{x - 1} y^{x - 1} + x' (x^{x} y^{x} \ln (x y))$

Etapa 2.6.5

Reordene os termos.

$x^{x - 1} y^{x - 1} (x^{2} + y x' x) + x^{x} y^{x} \ln (x y) x'$

Etapa 3

Como $e$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $e$ em relação a $y$ é $0$ .

$0$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$x^{x - 1} y^{x - 1} (x^{2} + y x' x) + x^{x} y^{x} \ln (x y) x' = 0$

Etapa 5

Resolva $x'$ .

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Etapa 5.1

Simplifique $x^{x - 1} y^{x - 1} (x^{2} + y x' x) + x^{x} y^{x} \ln (x y) x'$ .

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Etapa 5.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{x - 1} y^{x - 1} x^{2} + x^{x - 1} y^{x - 1} (y x' x) + x^{x} y^{x} \ln (x y) x' = 0$

Etapa 5.1.1.2

Multiplique $x^{x - 1}$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 5.1.1.2.1

Mova $x^{2}$ .

$x^{2} x^{x - 1} y^{x - 1} + x^{x - 1} y^{x - 1} (y x' x) + x^{x} y^{x} \ln (x y) x' = 0$

Etapa 5.1.1.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x^{2 + x - 1} y^{x - 1} + x^{x - 1} y^{x - 1} (y x' x) + x^{x} y^{x} \ln (x y) x' = 0$

Etapa 5.1.1.2.3

Subtraia $1$ de $2$ .

$x^{x + 1} y^{x - 1} + x^{x - 1} y^{x - 1} (y x' x) + x^{x} y^{x} \ln (x y) x' = 0$

Etapa 5.1.1.3

Multiplique $x^{x - 1}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 5.1.1.3.1

Mova $x$ .

$x^{x + 1} y^{x - 1} + x \cdot x^{x - 1} y^{x - 1} (y x') + x^{x} y^{x} \ln (x y) x' = 0$

Etapa 5.1.1.3.2

Multiplique $x$ por $x^{x - 1}$ .

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Etapa 5.1.1.3.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x^{x + 1} y^{x - 1} + x^{1} x^{x - 1} y^{x - 1} (y x') + x^{x} y^{x} \ln (x y) x' = 0$

Etapa 5.1.1.3.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x^{x + 1} y^{x - 1} + x^{1 + x - 1} y^{x - 1} (y x') + x^{x} y^{x} \ln (x y) x' = 0$

Etapa 5.1.1.3.3

Combine os termos opostos em $1 + x - 1$ .

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Etapa 5.1.1.3.3.1

Subtraia $1$ de $1$ .

$x^{x + 1} y^{x - 1} + x^{x + 0} y^{x - 1} (y x') + x^{x} y^{x} \ln (x y) x' = 0$

Etapa 5.1.1.3.3.2

Some $x$ e $0$ .

$x^{x + 1} y^{x - 1} + x^{x} y^{x - 1} (y x') + x^{x} y^{x} \ln (x y) x' = 0$

Etapa 5.1.1.4

Multiplique $y^{x - 1}$ por $y$ somando os expoentes.

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Etapa 5.1.1.4.1

Mova $y$ .

$x^{x + 1} y^{x - 1} + x^{x} (y \cdot y^{x - 1}) x' + x^{x} y^{x} \ln (x y) x' = 0$

Etapa 5.1.1.4.2

Multiplique $y$ por $y^{x - 1}$ .

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Etapa 5.1.1.4.2.1

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$x^{x + 1} y^{x - 1} + x^{x} (y^{1} y^{x - 1}) x' + x^{x} y^{x} \ln (x y) x' = 0$

Etapa 5.1.1.4.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x^{x + 1} y^{x - 1} + x^{x} y^{1 + x - 1} x' + x^{x} y^{x} \ln (x y) x' = 0$

Etapa 5.1.1.4.3

Combine os termos opostos em $1 + x - 1$ .

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Etapa 5.1.1.4.3.1

Subtraia $1$ de $1$ .

$x^{x + 1} y^{x - 1} + x^{x} y^{x + 0} x' + x^{x} y^{x} \ln (x y) x' = 0$

Etapa 5.1.1.4.3.2

Some $x$ e $0$ .

$x^{x + 1} y^{x - 1} + x^{x} y^{x} x' + x^{x} y^{x} \ln (x y) x' = 0$

Etapa 5.1.2

Reordene os fatores em $x^{x + 1} y^{x - 1} + x^{x} y^{x} x' + x^{x} y^{x} \ln (x y) x'$ .

$x^{x + 1} y^{x - 1} + x' x^{x} y^{x} + x' x^{x} y^{x} \ln (x y) = 0$

Etapa 5.2

Subtraia $x^{x + 1} y^{x - 1}$ dos dois lados da equação.

$x' x^{x} y^{x} + x' x^{x} y^{x} \ln (x y) = - x^{x + 1} y^{x - 1}$

Etapa 5.3

Fatore $x' x^{x} y^{x}$ de $x' x^{x} y^{x} + x' x^{x} y^{x} \ln (x y)$ .

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Etapa 5.3.1

Fatore $x' x^{x} y^{x}$ de $x' x^{x} y^{x}$ .

$x' x^{x} y^{x} \cdot 1 + x' x^{x} y^{x} \ln (x y) = - x^{x + 1} y^{x - 1}$

Etapa 5.3.2

Fatore $x' x^{x} y^{x}$ de $x' x^{x} y^{x} \ln (x y)$ .

$x' x^{x} y^{x} \cdot 1 + x' x^{x} y^{x} \ln (x y) = - x^{x + 1} y^{x - 1}$

Etapa 5.3.3

Fatore $x' x^{x} y^{x}$ de $x' x^{x} y^{x} \cdot 1 + x' x^{x} y^{x} \ln (x y)$ .

$x' x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y)) = - x^{x + 1} y^{x - 1}$

Etapa 5.4

Divida cada termo em $x' x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y)) = - x^{x + 1} y^{x - 1}$ por $x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y))$ e simplifique.

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Etapa 5.4.1

Divida cada termo em $x' x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y)) = - x^{x + 1} y^{x - 1}$ por $x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y))$ .

$\frac{x' x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y))}{x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y))} = \frac{- x^{x + 1} y^{x - 1}}{x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y))}$

Etapa 5.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.4.2.1

Cancele o fator comum de $x^{x}$ .

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Etapa 5.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x' x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y))}{x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y))} = \frac{- x^{x + 1} y^{x - 1}}{x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y))}$

Etapa 5.4.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{x' y^{x} (1 + \ln (x y))}{y^{x} (1 + \ln (x y))} = \frac{- x^{x + 1} y^{x - 1}}{x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y))}$

Etapa 5.4.2.2

Cancele o fator comum de $y^{x}$ .

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Etapa 5.4.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x' y^{x} (1 + \ln (x y))}{y^{x} (1 + \ln (x y))} = \frac{- x^{x + 1} y^{x - 1}}{x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y))}$

Etapa 5.4.2.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{x' (1 + \ln (x y))}{1 + \ln (x y)} = \frac{- x^{x + 1} y^{x - 1}}{x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y))}$

Etapa 5.4.2.3

Cancele o fator comum de $1 + \ln (x y)$ .

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Etapa 5.4.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x' (1 + \ln (x y))}{1 + \ln (x y)} = \frac{- x^{x + 1} y^{x - 1}}{x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y))}$

Etapa 5.4.2.3.2

Divida $x'$ por $1$ .

$x' = \frac{- x^{x + 1} y^{x - 1}}{x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y))}$

Etapa 5.4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.4.3.1

Cancele o fator comum de $x^{x + 1}$ e $x^{x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.1.1

Fatore $x^{x}$ de $- x^{x + 1} y^{x - 1}$ .

$x' = \frac{x^{x} (- x y^{x - 1})}{x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y))}$

Etapa 5.4.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.1.2.1

Fatore $x^{x}$ de $x^{x} y^{x} (1 + \ln (x y))$ .

$x' = \frac{x^{x} (- x y^{x - 1})}{x^{x} (y^{x} (1 + \ln (x y)))}$

Etapa 5.4.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$x' = \frac{x^{x} (- x y^{x - 1})}{x^{x} (y^{x} (1 + \ln (x y)))}$

Etapa 5.4.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$x' = \frac{- x y^{x - 1}}{y^{x} (1 + \ln (x y))}$

Etapa 5.4.3.2

Cancele o fator comum de $y^{x - 1}$ e $y^{x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.2.1

Fatore $y^{x}$ de $- x y^{x - 1}$ .

$x' = \frac{y^{x} (- x y^{- 1})}{y^{x} (1 + \ln (x y))}$

Etapa 5.4.3.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$x' = \frac{y^{x} (- x y^{- 1})}{y^{x} (1 + \ln (x y))}$

Etapa 5.4.3.2.2.2

Reescreva a expressão.

$x' = \frac{- x y^{- 1}}{1 + \ln (x y)}$

Etapa 5.4.3.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.4.3.3.1

Mova $y^{- 1}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x' = \frac{- x}{(1 + \ln (x y)) y}$

Etapa 5.4.3.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x' = - \frac{x}{(1 + \ln (x y)) y}$

Etapa 5.4.3.3.3

Reordene os fatores em $- \frac{x}{(1 + \ln (x y)) y}$ .

$x' = - \frac{x}{y (1 + \ln (x y))}$

Etapa 6

Substitua $x'$ por $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - \frac{x}{y (1 + \ln (x y))}$