Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{1} \arctan (2 x) d x$

Etapa 1

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = \arctan (2 x)$ e $d v = 1$ .

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} x \frac{2}{4 x^{2} + 1} d x$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Combine $x$ e $\frac{2}{4 x^{2} + 1}$ .

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{x \cdot 2}{4 x^{2} + 1} d x$

Etapa 2.2

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} \frac{2 x}{4 x^{2} + 1} d x$

Etapa 3

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} - (2 \int_{0}^{1} \frac{x}{4 x^{2} + 1} d x)$

Etapa 4

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} - 2 \int_{0}^{1} \frac{x}{4 x^{2} + 1} d x$

Etapa 5

Deixe $u = 4 x^{2} + 1$ . Depois, $d u = 8 x d x$ , então, $\frac{1}{8} d u = x d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 5.1

Deixe $u = 4 x^{2} + 1$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 5.1.1

Diferencie $4 x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2} + 1]$

Etapa 5.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x^{2} + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 5.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

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Etapa 5.1.3.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{2}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 5.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$4 (2 x) + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 5.1.3.3

Multiplique $2$ por $4$ .

$8 x + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 5.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 5.1.4.1

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$8 x + 0$

Etapa 5.1.4.2

Some $8 x$ e $0$ .

$8 x$

Etapa 5.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = 4 x^{2} + 1$ .

$u_{lower} = 4 \cdot 0^{2} + 1$

Etapa 5.3

Simplifique.

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Etapa 5.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.3.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$u_{lower} = 4 \cdot 0 + 1$

Etapa 5.3.1.2

Multiplique $4$ por $0$ .

$u_{lower} = 0 + 1$

Etapa 5.3.2

Some $0$ e $1$ .

$u_{lower} = 1$

Etapa 5.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = 4 x^{2} + 1$ .

$u_{upper} = 4 \cdot 1^{2} + 1$

Etapa 5.5

Simplifique.

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Etapa 5.5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.5.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$u_{upper} = 4 \cdot 1 + 1$

Etapa 5.5.1.2

Multiplique $4$ por $1$ .

$u_{upper} = 4 + 1$

Etapa 5.5.2

Some $4$ e $1$ .

$u_{upper} = 5$

Etapa 5.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 5$

Etapa 5.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} - 2 \int_{1}^{5} \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{8} d u$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Multiplique $\frac{1}{u}$ por $\frac{1}{8}$ .

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} - 2 \int_{1}^{5} \frac{1}{u \cdot 8} d u$

Etapa 6.2

Mova $8$ para a esquerda de $u$ .

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} - 2 \int_{1}^{5} \frac{1}{8 u} d u$

Etapa 7

Como $\frac{1}{8}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{8}$ para fora da integral.

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} - 2 (\frac{1}{8} \int_{1}^{5} \frac{1}{u} d u)$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Combine $\frac{1}{8}$ e $- 2$ .

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} + \frac{- 2}{8} \int_{1}^{5} \frac{1}{u} d u$

Etapa 8.2

Cancele o fator comum de $- 2$ e $8$ .

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Etapa 8.2.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} + \frac{2 (- 1)}{8} \int_{1}^{5} \frac{1}{u} d u$

Etapa 8.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 8.2.2.1

Fatore $2$ de $8$ .

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 4} \int_{1}^{5} \frac{1}{u} d u$

Etapa 8.2.2.2

Cancele o fator comum.

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 4} \int_{1}^{5} \frac{1}{u} d u$

Etapa 8.2.2.3

Reescreva a expressão.

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} + \frac{- 1}{4} \int_{1}^{5} \frac{1}{u} d u$

Etapa 8.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} - \frac{1}{4} \int_{1}^{5} \frac{1}{u} d u$

Etapa 9

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$\arctan (2 x) x]_{0}^{1} - \frac{1}{4} \ln (| u |)]_{1}^{5}$

Etapa 10

Simplifique.

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Etapa 10.1

Avalie $\arctan (2 x) x$ em $1$ e em $0$ .

$(\arctan (2 \cdot 1) \cdot 1) - \arctan (2 \cdot 0) \cdot 0 - \frac{1}{4} \ln (| u |)]_{1}^{5}$

Etapa 10.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 10.2.1

Avalie $\ln (| u |)$ em $5$ e em $1$ .

$(\arctan (2 \cdot 1) \cdot 1) - \arctan (2 \cdot 0) \cdot 0 - \frac{1}{4} ((\ln (| 5 |)) - \ln (| 1 |))$

Etapa 10.2.2

Multiplique.

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Etapa 10.2.2.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$\arctan (2) \cdot 1 - \arctan (2 \cdot 0) \cdot 0 - \frac{1}{4} ((\ln (| 5 |)) - \ln (| 1 |))$

Etapa 10.2.2.2

Multiplique $\arctan (2)$ por $1$ .

$\arctan (2) - \arctan (2 \cdot 0) \cdot 0 - \frac{1}{4} ((\ln (| 5 |)) - \ln (| 1 |))$

Etapa 10.2.2.3

Multiplique $2$ por $0$ .

$\arctan (2) - \arctan (0) \cdot 0 - \frac{1}{4} ((\ln (| 5 |)) - \ln (| 1 |))$

Etapa 10.2.3

Simplifique.

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Etapa 10.2.3.1

Multiplique $0$ por $- 1$ .

$\arctan (2) + 0 \arctan (0) - \frac{1}{4} ((\ln (| 5 |)) - \ln (| 1 |))$

Etapa 10.2.3.2

Multiplique $0$ por $\arctan (0)$ .

$\arctan (2) + 0 - \frac{1}{4} ((\ln (| 5 |)) - \ln (| 1 |))$

Etapa 10.2.4

Some $\arctan (2)$ e $0$ .

$\arctan (2) - \frac{1}{4} ((\ln (| 5 |)) - \ln (| 1 |))$

Etapa 10.3

Simplifique.

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Etapa 10.3.1

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\arctan (2) - \frac{1}{4} \ln (\frac{| 5 |}{| 1 |})$

Etapa 10.3.2

Combine $\ln (\frac{| 5 |}{| 1 |})$ e $\frac{1}{4}$ .

$\arctan (2) - \frac{\ln (\frac{| 5 |}{| 1 |})}{4}$

Etapa 10.4

Simplifique.

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Etapa 10.4.1

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $5$ é $5$ .

$\arctan (2) - \frac{\ln (\frac{5}{| 1 |})}{4}$

Etapa 10.4.2

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\arctan (2) - \frac{\ln (\frac{5}{1})}{4}$

Etapa 10.4.3

Divida $5$ por $1$ .

$\arctan (2) - \frac{\ln (5)}{4}$

Etapa 11

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\arctan (2) - \frac{\ln (5)}{4}$

Forma decimal:

$0.70478923 \dots$