Cálculo Exemplos

$x^{\frac{1}{3}} + x \sqrt{x} - 2$

Etapa 1

Escreva $x^{\frac{1}{3}} + x \sqrt{x} - 2$ como uma função.

$f (x) = x^{\frac{1}{3}} + x \sqrt{x} - 2$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int x^{\frac{1}{3}} + x \sqrt{x} - 2 d x$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int x^{\frac{1}{3}} + x \cdot x^{\frac{1}{2}} - 2 d x$

Etapa 4.2

Multiplique $x$ por $x^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 4.2.1

Multiplique $x$ por $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 4.2.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\int x^{\frac{1}{3}} + x^{1} x^{\frac{1}{2}} - 2 d x$

Etapa 4.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int x^{\frac{1}{3}} + x^{1 + \frac{1}{2}} - 2 d x$

Etapa 4.2.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$\int x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} - 2 d x$

Etapa 4.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\int x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{2 + 1}{2}} - 2 d x$

Etapa 4.2.4

Some $2$ e $1$ .

$\int x^{\frac{1}{3}} + x^{\frac{3}{2}} - 2 d x$

Etapa 5

Divida a integral única em várias integrais.

$\int x^{\frac{1}{3}} d x + \int x^{\frac{3}{2}} d x + \int - 2 d x$

Etapa 6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{\frac{1}{3}}$ com relação a $x$ é $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C + \int x^{\frac{3}{2}} d x + \int - 2 d x$

Etapa 7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{\frac{3}{2}}$ com relação a $x$ é $\frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}}$ .

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C + \int - 2 d x$

Etapa 8

Aplique a regra da constante.

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + C + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} + C - 2 x + C$

Etapa 9

Simplifique.

$\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} - 2 x + C$

Etapa 10

A resposta é a primitiva da função $f (x) = x^{\frac{1}{3}} + x \sqrt{x} - 2$ .

$F (x) =$ $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}} + \frac{2}{5} x^{\frac{5}{2}} - 2 x + C$