Cálculo Exemplos

$y = x - x \sin (x)$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x - x \sin (x))$

Etapa 2

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie.

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Etapa 3.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - x \sin (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x \sin (x)]$

Etapa 3.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- x \sin (x)]$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- x \sin (x)]$ .

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Etapa 3.2.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x \sin (x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x \sin (x)]$ .

$1 - \frac{d}{d x} [x \sin (x)]$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = \sin (x)$ .

$1 - (x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.2.3

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$1 - (x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 - (x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1)$

Etapa 3.2.5

Multiplique $\sin (x)$ por $1$ .

$1 - (x \cos (x) + \sin (x))$

Etapa 3.3

Simplifique.

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Etapa 3.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$1 - (x \cos (x)) - \sin (x)$

Etapa 3.3.2

Remova os parênteses desnecessários.

$1 - x \cos (x) - \sin (x)$

Etapa 3.3.3

Reordene os termos.

$- x \cos (x) + 1 - \sin (x)$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = - x \cos (x) + 1 - \sin (x)$

Etapa 5

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - x \cos (x) + 1 - \sin (x)$