Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{2}{5} x^{5} + 5 x^{4} + 16 x^{3} - 15$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{2}{5} x^{5} + 5 x^{4} + 16 x^{3} - 15$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{2}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{2}{5} x^{5}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Como $\frac{2}{5}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{2}{5} x^{5}$ em relação a $x$ é $\frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$\frac{2}{5} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Etapa 1.2.3

Combine $5$ e $\frac{2}{5}$ .

$\frac{5 \cdot 2}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Etapa 1.2.4

Multiplique $5$ por $2$ .

$\frac{10}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Etapa 1.2.5

Combine $\frac{10}{5}$ e $x^{4}$ .

$\frac{10 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Etapa 1.2.6

Cancele o fator comum de $10$ e $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.1

Fatore $5$ de $10 x^{4}$ .

$\frac{5 (2 x^{4})}{5} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Etapa 1.2.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.6.2.1

Fatore $5$ de $5$ .

$\frac{5 (2 x^{4})}{5 (1)} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Etapa 1.2.6.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{5 (2 x^{4})}{5 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Etapa 1.2.6.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2 x^{4}}{1} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Etapa 1.2.6.2.4

Divida $2 x^{4}$ por $1$ .

$2 x^{4} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x^{4}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$2 x^{4} + 5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$2 x^{4} + 5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Etapa 1.3.3

Multiplique $4$ por $5$ .

$2 x^{4} + 20 x^{3} + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Etapa 1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [16 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Como $16$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $16 x^{3}$ em relação a $x$ é $16 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 x^{4} + 20 x^{3} + 16 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Etapa 1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$2 x^{4} + 20 x^{3} + 16 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 15]$

Etapa 1.4.3

Multiplique $3$ por $16$ .

$2 x^{4} + 20 x^{3} + 48 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 15]$

Etapa 1.5

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Como $- 15$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 15$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 x^{4} + 20 x^{3} + 48 x^{2} + 0$

Etapa 1.5.2

Some $2 x^{4} + 20 x^{3} + 48 x^{2}$ e $0$ .

$2 x^{4} + 20 x^{3} + 48 x^{2}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x^{4} + 20 x^{3} + 48 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [48 x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 x^{4}) + \frac{d}{d x} (20 x^{3}) + \frac{d}{d x} (48 x^{2})$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x^{4}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{4}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (20 x^{3}) + \frac{d}{d x} (48 x^{2})$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$f'' (x) = 2 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (20 x^{3}) + \frac{d}{d x} (48 x^{2})$

Etapa 2.2.3

Multiplique $4$ por $2$ .

$f'' (x) = 8 x^{3} + \frac{d}{d x} (20 x^{3}) + \frac{d}{d x} (48 x^{2})$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $20$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $20 x^{3}$ em relação a $x$ é $20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 8 x^{3} + 20 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (48 x^{2})$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f'' (x) = 8 x^{3} + 20 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (48 x^{2})$

Etapa 2.3.3

Multiplique $3$ por $20$ .

$f'' (x) = 8 x^{3} + 60 x^{2} + \frac{d}{d x} (48 x^{2})$

Etapa 2.4

Avalie $\frac{d}{d x} [48 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Como $48$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $48 x^{2}$ em relação a $x$ é $48 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 8 x^{3} + 60 x^{2} + 48 \frac{d}{d x} (x^{2})$

Etapa 2.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 8 x^{3} + 60 x^{2} + 48 (2 x)$

Etapa 2.4.3

Multiplique $2$ por $48$ .

$f'' (x) = 8 x^{3} + 60 x^{2} + 96 x$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$2 x^{4} + 20 x^{3} + 48 x^{2} = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

$\frac{d}{d x} [\frac{2}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Etapa 4.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{2}{5} x^{5}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Como $\frac{2}{5}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{2}{5} x^{5}$ em relação a $x$ é $\frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{2}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Etapa 4.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

$\frac{2}{5} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Etapa 4.1.2.3

Combine $5$ e $\frac{2}{5}$ .

$\frac{5 \cdot 2}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Etapa 4.1.2.4

Multiplique $5$ por $2$ .

$\frac{10}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Etapa 4.1.2.5

Combine $\frac{10}{5}$ e $x^{4}$ .

$\frac{10 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Etapa 4.1.2.6

Cancele o fator comum de $10$ e $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.6.1

Fatore $5$ de $10 x^{4}$ .

$\frac{5 (2 x^{4})}{5} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Etapa 4.1.2.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.6.2.1

Fatore $5$ de $5$ .

$\frac{5 (2 x^{4})}{5 (1)} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Etapa 4.1.2.6.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{5 (2 x^{4})}{5 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Etapa 4.1.2.6.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2 x^{4}}{1} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Etapa 4.1.2.6.2.4

Divida $2 x^{4}$ por $1$ .

$2 x^{4} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Etapa 4.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x^{4}$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$2 x^{4} + 5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Etapa 4.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$2 x^{4} + 5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Etapa 4.1.3.3

Multiplique $4$ por $5$ .

$2 x^{4} + 20 x^{3} + \frac{d}{d x} [16 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Etapa 4.1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [16 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.4.1

Como $16$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $16 x^{3}$ em relação a $x$ é $16 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 x^{4} + 20 x^{3} + 16 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15]$

Etapa 4.1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$2 x^{4} + 20 x^{3} + 16 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 15]$

Etapa 4.1.4.3

Multiplique $3$ por $16$ .

$2 x^{4} + 20 x^{3} + 48 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 15]$

Etapa 4.1.5

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.5.1

Como $- 15$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 15$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 x^{4} + 20 x^{3} + 48 x^{2} + 0$

Etapa 4.1.5.2

Some $2 x^{4} + 20 x^{3} + 48 x^{2}$ e $0$ .

$f' (x) = 2 x^{4} + 20 x^{3} + 48 x^{2}$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $2 x^{4} + 20 x^{3} + 48 x^{2}$ .

$2 x^{4} + 20 x^{3} + 48 x^{2}$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $2 x^{4} + 20 x^{3} + 48 x^{2} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$2 x^{4} + 20 x^{3} + 48 x^{2} = 0$

Etapa 5.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Fatore $2 x^{2}$ de $2 x^{4} + 20 x^{3} + 48 x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1.1

Fatore $2 x^{2}$ de $2 x^{4}$ .

$2 x^{2} (x^{2}) + 20 x^{3} + 48 x^{2} = 0$

Etapa 5.2.1.2

Fatore $2 x^{2}$ de $20 x^{3}$ .

$2 x^{2} (x^{2}) + 2 x^{2} (10 x) + 48 x^{2} = 0$

Etapa 5.2.1.3

Fatore $2 x^{2}$ de $48 x^{2}$ .

$2 x^{2} (x^{2}) + 2 x^{2} (10 x) + 2 x^{2} (24) = 0$

Etapa 5.2.1.4

Fatore $2 x^{2}$ de $2 x^{2} (x^{2}) + 2 x^{2} (10 x)$ .

$2 x^{2} (x^{2} + 10 x) + 2 x^{2} (24) = 0$

Etapa 5.2.1.5

Fatore $2 x^{2}$ de $2 x^{2} (x^{2} + 10 x) + 2 x^{2} (24)$ .

$2 x^{2} (x^{2} + 10 x + 24) = 0$

Etapa 5.2.2

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1

Fatore $x^{2} + 10 x + 24$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $24$ e cuja soma é $10$ .

$4, 6$

Etapa 5.2.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$2 x^{2} ((x + 4) (x + 6)) = 0$

Etapa 5.2.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$2 x^{2} (x + 4) (x + 6) = 0$

Etapa 5.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

$x + 4 = 0$

$x + 6 = 0$

Etapa 5.4

Defina $x^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Defina $x^{2}$ como igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

Etapa 5.4.2

Resolva $x^{2} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Etapa 5.4.2.2

Simplifique $\pm \sqrt{0}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Etapa 5.4.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 0$

Etapa 5.4.2.2.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 5.5

Defina $x + 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1

Defina $x + 4$ como igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

Etapa 5.5.2

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$x = - 4$

Etapa 5.6

Defina $x + 6$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.1

Defina $x + 6$ como igual a $0$ .

$x + 6 = 0$

Etapa 5.6.2

Subtraia $6$ dos dois lados da equação.

$x = - 6$

Etapa 5.7

A solução final são todos os valores que tornam $2 x^{2} (x + 4) (x + 6) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, - 4, - 6$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = 0, - 4, - 6$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = 0$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$8 {(0)}^{3} + 60 {(0)}^{2} + 96 (0)$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$8 \cdot 0 + 60 {(0)}^{2} + 96 (0)$

Etapa 9.1.2

Multiplique $8$ por $0$ .

$0 + 60 {(0)}^{2} + 96 (0)$

Etapa 9.1.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 + 60 \cdot 0 + 96 (0)$

Etapa 9.1.4

Multiplique $60$ por $0$ .

$0 + 0 + 96 (0)$

Etapa 9.1.5

Multiplique $96$ por $0$ .

$0 + 0 + 0$

Etapa 9.2

Simplifique somando os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Some $0$ e $0$ .

$0 + 0$

Etapa 9.2.2

Some $0$ e $0$ .

$0$

Etapa 10

Como há pelo menos um ponto com $0$ ou segunda derivada indefinida, aplique o teste da primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.1

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a primeira derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, - 6) \cup (- 6, - 4) \cup (- 4, 0) \cup (0, \infty)$

Etapa 10.2

Substitua qualquer número, como $- 8$ , do intervalo $(- \infty, - 6)$ na primeira derivada $2 x^{4} + 20 x^{3} + 48 x^{2}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.1

Substitua a variável $x$ por $- 8$ na expressão.

$f' (- 8) = 2 {(- 8)}^{4} + 20 {(- 8)}^{3} + 48 {(- 8)}^{2}$

Etapa 10.2.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.2.1.1

Eleve $- 8$ à potência de $4$ .

$f' (- 8) = 2 \cdot 4096 + 20 {(- 8)}^{3} + 48 {(- 8)}^{2}$

Etapa 10.2.2.1.2

Multiplique $2$ por $4096$ .

$f' (- 8) = 8192 + 20 {(- 8)}^{3} + 48 {(- 8)}^{2}$

Etapa 10.2.2.1.3

Eleve $- 8$ à potência de $3$ .

$f' (- 8) = 8192 + 20 \cdot - 512 + 48 {(- 8)}^{2}$

Etapa 10.2.2.1.4

Multiplique $20$ por $- 512$ .

$f' (- 8) = 8192 - 10240 + 48 {(- 8)}^{2}$

Etapa 10.2.2.1.5

Eleve $- 8$ à potência de $2$ .

$f' (- 8) = 8192 - 10240 + 48 \cdot 64$

Etapa 10.2.2.1.6

Multiplique $48$ por $64$ .

$f' (- 8) = 8192 - 10240 + 3072$

Etapa 10.2.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.2.2.1

Subtraia $10240$ de $8192$ .

$f' (- 8) = - 2048 + 3072$

Etapa 10.2.2.2.2

Some $- 2048$ e $3072$ .

$f' (- 8) = 1024$

Etapa 10.2.2.3

A resposta final é $1024$ .

$1024$

Etapa 10.3

Substitua qualquer número, como $- 5$ , do intervalo $(- 6, - 4)$ na primeira derivada $2 x^{4} + 20 x^{3} + 48 x^{2}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.1

Substitua a variável $x$ por $- 5$ na expressão.

$f' (- 5) = 2 {(- 5)}^{4} + 20 {(- 5)}^{3} + 48 {(- 5)}^{2}$

Etapa 10.3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.2.1.1

Eleve $- 5$ à potência de $4$ .

$f' (- 5) = 2 \cdot 625 + 20 {(- 5)}^{3} + 48 {(- 5)}^{2}$

Etapa 10.3.2.1.2

Multiplique $2$ por $625$ .

$f' (- 5) = 1250 + 20 {(- 5)}^{3} + 48 {(- 5)}^{2}$

Etapa 10.3.2.1.3

Eleve $- 5$ à potência de $3$ .

$f' (- 5) = 1250 + 20 \cdot - 125 + 48 {(- 5)}^{2}$

Etapa 10.3.2.1.4

Multiplique $20$ por $- 125$ .

$f' (- 5) = 1250 - 2500 + 48 {(- 5)}^{2}$

Etapa 10.3.2.1.5

Eleve $- 5$ à potência de $2$ .

$f' (- 5) = 1250 - 2500 + 48 \cdot 25$

Etapa 10.3.2.1.6

Multiplique $48$ por $25$ .

$f' (- 5) = 1250 - 2500 + 1200$

Etapa 10.3.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.2.2.1

Subtraia $2500$ de $1250$ .

$f' (- 5) = - 1250 + 1200$

Etapa 10.3.2.2.2

Some $- 1250$ e $1200$ .

$f' (- 5) = - 50$

Etapa 10.3.2.3

A resposta final é $- 50$ .

$- 50$

Etapa 10.4

Substitua qualquer número, como $- 2$ , do intervalo $(- 4, 0)$ na primeira derivada $2 x^{4} + 20 x^{3} + 48 x^{2}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.4.1

Substitua a variável $x$ por $- 2$ na expressão.

$f' (- 2) = 2 {(- 2)}^{4} + 20 {(- 2)}^{3} + 48 {(- 2)}^{2}$

Etapa 10.4.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.4.2.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $4$ .

$f' (- 2) = 2 \cdot 16 + 20 {(- 2)}^{3} + 48 {(- 2)}^{2}$

Etapa 10.4.2.1.2

Multiplique $2$ por $16$ .

$f' (- 2) = 32 + 20 {(- 2)}^{3} + 48 {(- 2)}^{2}$

Etapa 10.4.2.1.3

Eleve $- 2$ à potência de $3$ .

$f' (- 2) = 32 + 20 \cdot - 8 + 48 {(- 2)}^{2}$

Etapa 10.4.2.1.4

Multiplique $20$ por $- 8$ .

$f' (- 2) = 32 - 160 + 48 {(- 2)}^{2}$

Etapa 10.4.2.1.5

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$f' (- 2) = 32 - 160 + 48 \cdot 4$

Etapa 10.4.2.1.6

Multiplique $48$ por $4$ .

$f' (- 2) = 32 - 160 + 192$

Etapa 10.4.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.4.2.2.1

Subtraia $160$ de $32$ .

$f' (- 2) = - 128 + 192$

Etapa 10.4.2.2.2

Some $- 128$ e $192$ .

$f' (- 2) = 64$

Etapa 10.4.2.3

A resposta final é $64$ .

$64$

Etapa 10.5

Substitua qualquer número, como $2$ , do intervalo $(0, \infty)$ na primeira derivada $2 x^{4} + 20 x^{3} + 48 x^{2}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.5.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f' (2) = 2 {(2)}^{4} + 20 {(2)}^{3} + 48 {(2)}^{2}$

Etapa 10.5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.5.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.5.2.1.1

Multiplique $2$ por ${(2)}^{4}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.5.2.1.1.1

Multiplique $2$ por ${(2)}^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.5.2.1.1.1.1

Eleve $2$ à potência de $1$ .

$f' (2) = 2 {(2)}^{4} + 20 {(2)}^{3} + 48 {(2)}^{2}$

Etapa 10.5.2.1.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (2) = 2^{1 + 4} + 20 {(2)}^{3} + 48 {(2)}^{2}$

Etapa 10.5.2.1.1.2

Some $1$ e $4$ .

$f' (2) = 2^{5} + 20 {(2)}^{3} + 48 {(2)}^{2}$

Etapa 10.5.2.1.2

Eleve $2$ à potência de $5$ .

$f' (2) = 32 + 20 {(2)}^{3} + 48 {(2)}^{2}$

Etapa 10.5.2.1.3

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$f' (2) = 32 + 20 \cdot 8 + 48 {(2)}^{2}$

Etapa 10.5.2.1.4

Multiplique $20$ por $8$ .

$f' (2) = 32 + 160 + 48 {(2)}^{2}$

Etapa 10.5.2.1.5

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f' (2) = 32 + 160 + 48 \cdot 4$

Etapa 10.5.2.1.6

Multiplique $48$ por $4$ .

$f' (2) = 32 + 160 + 192$

Etapa 10.5.2.2

Simplifique somando os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.5.2.2.1

Some $32$ e $160$ .

$f' (2) = 192 + 192$

Etapa 10.5.2.2.2

Some $192$ e $192$ .

$f' (2) = 384$

Etapa 10.5.2.3

A resposta final é $384$ .

$384$

Etapa 10.6

Como a primeira derivada mudou os sinais de positivo para negativo em torno de $x = - 6$ , então $x = - 6$ é um máximo local.

$x = - 6$ é um máximo local

Etapa 10.7

Como a primeira derivada mudou os sinais de negativo para positivo em torno de $x = - 4$ , então $x = - 4$ é um mínimo local.

$x = - 4$ é um mínimo local

Etapa 10.8

Como a primeira derivada não mudou os sinais em torno de $x = 0$ , este não é um máximo local nem um mínimo local.

Não é um máximo nem um mínimo local

Etapa 10.9

Esses são os extremos locais para $f (x) = \frac{2}{5} x^{5} + 5 x^{4} + 16 x^{3} - 15$ .

$x = - 6$ é um máximo local

$x = - 4$ é um mínimo local

$x = - 6$ é um máximo local

$x = - 4$ é um mínimo local

Etapa 11