Cálculo Exemplos

$e^{x} (3 + e^{- x})$

Etapa 1

Escreva $e^{x} (3 + e^{- x})$ como uma função.

$f (x) = e^{x} (3 + e^{- x})$

Etapa 2

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 3

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int e^{x} (3 + e^{- x}) d x$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\int e^{x} \cdot 3 + e^{x} e^{- x} d x$

Etapa 4.2

Mova $3$ para a esquerda de $e^{x}$ .

$\int 3 \cdot e^{x} + e^{x} e^{- x} d x$

Etapa 4.3

Multiplique $e^{x}$ por $e^{- x}$ somando os expoentes.

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Etapa 4.3.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int 3 \cdot e^{x} + e^{x - x} d x$

Etapa 4.3.2

Subtraia $x$ de $x$ .

$\int 3 \cdot e^{x} + e^{0} d x$

Etapa 4.4

Simplifique $e^{0}$ .

$\int 3 e^{x} + 1 d x$

Etapa 5

Divida a integral única em várias integrais.

$\int 3 e^{x} d x + \int d x$

Etapa 6

Como $3$ é constante com relação a $x$ , mova $3$ para fora da integral.

$3 \int e^{x} d x + \int d x$

Etapa 7

A integral de $e^{x}$ com relação a $x$ é $e^{x}$ .

$3 (e^{x} + C) + \int d x$

Etapa 8

Aplique a regra da constante.

$3 (e^{x} + C) + x + C$

Etapa 9

Simplifique.

$3 e^{x} + x + C$

Etapa 10

A resposta é a primitiva da função $f (x) = e^{x} (3 + e^{- x})$ .

$F (x) =$ $3 e^{x} + x + C$