Cálculo Exemplos

$\int (\frac{x - 8}{x + 12}) d x$

Etapa 1

Remova os parênteses.

$\int \frac{x - 8}{x + 12} d x$

Etapa 2

Divida $x - 8$ por $x + 12$ .

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Etapa 2.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$12$

$x$

$8$

Etapa 2.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

					$1$
	$x$	+	$12$		$x$	-	$8$

Etapa 2.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$1$
$x$	+	$12$		$x$	-	$8$
			+	$x$	+	$12$

Etapa 2.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x + 12$ .

				$1$
$x$	+	$12$		$x$	-	$8$
			-	$x$	-	$12$

Etapa 2.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$1$
$x$	+	$12$		$x$	-	$8$
			-	$x$	-	$12$
					-	$20$

Etapa 2.6

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$\int 1 - \frac{20}{x + 12} d x$

Etapa 3

Divida a integral única em várias integrais.

$\int d x + \int - \frac{20}{x + 12} d x$

Etapa 4

Aplique a regra da constante.

$x + C + \int - \frac{20}{x + 12} d x$

Etapa 5

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$x + C - \int \frac{20}{x + 12} d x$

Etapa 6

Como $20$ é constante com relação a $x$ , mova $20$ para fora da integral.

$x + C - (20 \int \frac{1}{x + 12} d x)$

Etapa 7

Multiplique $20$ por $- 1$ .

$x + C - 20 \int \frac{1}{x + 12} d x$

Etapa 8

Deixe $u = x + 12$ . Depois, $d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 8.1

Deixe $u = x + 12$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 8.1.1

Diferencie $x + 12$ .

$\frac{d}{d x} [x + 12]$

Etapa 8.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 12$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [12]$

Etapa 8.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [12]$

Etapa 8.1.4

Como $12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $12$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 8.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 8.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$x + C - 20 \int \frac{1}{u} d u$

Etapa 9

A integral de $\frac{1}{u}$ com relação a $u$ é $\ln (| u |)$ .

$x + C - 20 (\ln (| u |) + C)$

Etapa 10

Simplifique.

$x - 20 \ln (| u |) + C$

Etapa 11

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + 12$ .

$x - 20 \ln (| x + 12 |) + C$