Cálculo Exemplos

$\int_{1}^{4} \frac{\sqrt{y} - y}{y^{2}} d y$

Etapa 1

Simplifique.

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Etapa 1.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{y}$ como $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{1}^{4} \frac{y^{\frac{1}{2}} - y}{y^{2}} d y$

Etapa 1.1.2

Fatore $y^{\frac{1}{2}}$ de $y^{\frac{1}{2}} - y$ .

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Etapa 1.1.2.1

Multiplique por $1$ .

$\int_{1}^{4} \frac{y^{\frac{1}{2}} \cdot 1 - y}{y^{2}} d y$

Etapa 1.1.2.2

Fatore $y^{\frac{1}{2}}$ de $- y$ .

$\int_{1}^{4} \frac{y^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + y^{\frac{1}{2}} (- y^{\frac{1}{2}})}{y^{2}} d y$

Etapa 1.1.2.3

Fatore $y^{\frac{1}{2}}$ de $y^{\frac{1}{2}} \cdot 1 + y^{\frac{1}{2}} (- y^{\frac{1}{2}})$ .

$\int_{1}^{4} \frac{y^{\frac{1}{2}} (1 - y^{\frac{1}{2}})}{y^{2}} d y$

Etapa 1.2

Mova $y^{\frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\int_{1}^{4} \frac{1 - y^{\frac{1}{2}}}{y^{2} y^{- \frac{1}{2}}} d y$

Etapa 1.3

Multiplique $y^{2}$ por $y^{- \frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 1.3.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int_{1}^{4} \frac{1 - y^{\frac{1}{2}}}{y^{2 - \frac{1}{2}}} d y$

Etapa 1.3.2

Para escrever $2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\int_{1}^{4} \frac{1 - y^{\frac{1}{2}}}{y^{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d y$

Etapa 1.3.3

Combine $2$ e $\frac{2}{2}$ .

$\int_{1}^{4} \frac{1 - y^{\frac{1}{2}}}{y^{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}}} d y$

Etapa 1.3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\int_{1}^{4} \frac{1 - y^{\frac{1}{2}}}{y^{\frac{2 \cdot 2 - 1}{2}}} d y$

Etapa 1.3.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.3.5.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$\int_{1}^{4} \frac{1 - y^{\frac{1}{2}}}{y^{\frac{4 - 1}{2}}} d y$

Etapa 1.3.5.2

Subtraia $1$ de $4$ .

$\int_{1}^{4} \frac{1 - y^{\frac{1}{2}}}{y^{\frac{3}{2}}} d y$

Etapa 2

Mova $y^{\frac{3}{2}}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$\int_{1}^{4} (1 - y^{\frac{1}{2}}) {(y^{\frac{3}{2}})}^{- 1} d y$

Etapa 3

Multiplique os expoentes em ${(y^{\frac{3}{2}})}^{- 1}$ .

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Etapa 3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int_{1}^{4} (1 - y^{\frac{1}{2}}) y^{\frac{3}{2} \cdot - 1} d y$

Etapa 3.2

Multiplique $\frac{3}{2} \cdot - 1$ .

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Etapa 3.2.1

Combine $\frac{3}{2}$ e $- 1$ .

$\int_{1}^{4} (1 - y^{\frac{1}{2}}) y^{\frac{3 \cdot - 1}{2}} d y$

Etapa 3.2.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\int_{1}^{4} (1 - y^{\frac{1}{2}}) y^{\frac{- 3}{2}} d y$

Etapa 3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int_{1}^{4} (1 - y^{\frac{1}{2}}) y^{- \frac{3}{2}} d y$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\int_{1}^{4} 1 y^{- \frac{3}{2}} - y^{\frac{1}{2}} y^{- \frac{3}{2}} d y$

Etapa 4.2

Multiplique $y^{- \frac{3}{2}}$ por $1$ .

$\int_{1}^{4} y^{- \frac{3}{2}} - y^{\frac{1}{2}} y^{- \frac{3}{2}} d y$

Etapa 4.3

Fatore o negativo.

$\int_{1}^{4} y^{- \frac{3}{2}} - (y^{\frac{1}{2}} y^{- \frac{3}{2}}) d y$

Etapa 4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int_{1}^{4} y^{- \frac{3}{2}} - y^{\frac{1}{2} - \frac{3}{2}} d y$

Etapa 4.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\int_{1}^{4} y^{- \frac{3}{2}} - y^{\frac{1 - 3}{2}} d y$

Etapa 4.6

Subtraia $3$ de $1$ .

$\int_{1}^{4} y^{- \frac{3}{2}} - y^{\frac{- 2}{2}} d y$

Etapa 4.7

Cancele o fator comum de $- 2$ e $2$ .

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Etapa 4.7.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$\int_{1}^{4} y^{- \frac{3}{2}} - y^{\frac{2 \cdot - 1}{2}} d y$

Etapa 4.7.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.7.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\int_{1}^{4} y^{- \frac{3}{2}} - y^{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)}} d y$

Etapa 4.7.2.2

Cancele o fator comum.

$\int_{1}^{4} y^{- \frac{3}{2}} - y^{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1}} d y$

Etapa 4.7.2.3

Reescreva a expressão.

$\int_{1}^{4} y^{- \frac{3}{2}} - y^{\frac{- 1}{1}} d y$

Etapa 4.7.2.4

Divida $- 1$ por $1$ .

$\int_{1}^{4} y^{- \frac{3}{2}} - y^{- 1} d y$

Etapa 4.8

Reordene $y^{- \frac{3}{2}}$ e $- y^{- 1}$ .

$\int_{1}^{4} - y^{- 1} + y^{- \frac{3}{2}} d y$

Etapa 5

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{1}^{4} - y^{- 1} d y + \int_{1}^{4} y^{- \frac{3}{2}} d y$

Etapa 6

Como $- 1$ é constante com relação a $y$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int_{1}^{4} y^{- 1} d y + \int_{1}^{4} y^{- \frac{3}{2}} d y$

Etapa 7

A integral de $y^{- 1}$ com relação a $y$ é $\ln (| y |)$ .

$- (\ln (| y |)]_{1}^{4}) + \int_{1}^{4} y^{- \frac{3}{2}} d y$

Etapa 8

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $y^{- \frac{3}{2}}$ com relação a $y$ é $- 2 y^{- \frac{1}{2}}$ .

$- (\ln (| y |)]_{1}^{4}) + - 2 y^{- \frac{1}{2}}]_{1}^{4}$

Etapa 9

Simplifique a resposta.

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Etapa 9.1

Substitua e simplifique.

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Etapa 9.1.1

Avalie $\ln (| y |)$ em $4$ e em $1$ .

$- ((\ln (| 4 |)) - \ln (| 1 |)) + - 2 y^{- \frac{1}{2}}]_{1}^{4}$

Etapa 9.1.2

Avalie $- 2 y^{- \frac{1}{2}}$ em $4$ e em $1$ .

$- (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |)) + - 2 \cdot 4^{- \frac{1}{2}} + 2 \cdot 1^{- \frac{1}{2}}$

Etapa 9.1.3

Simplifique.

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Etapa 9.1.3.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |)) - 2 \cdot \frac{1}{4^{\frac{1}{2}}} + 2 \cdot 1^{- \frac{1}{2}}$

Etapa 9.1.3.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$- (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |)) - 2 \cdot \frac{1}{{(2^{2})}^{\frac{1}{2}}} + 2 \cdot 1^{- \frac{1}{2}}$

Etapa 9.1.3.3

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |)) - 2 \cdot \frac{1}{2^{2 (\frac{1}{2})}} + 2 \cdot 1^{- \frac{1}{2}}$

Etapa 9.1.3.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 9.1.3.4.1

Cancele o fator comum.

$- (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |)) - 2 \cdot \frac{1}{2^{2 (\frac{1}{2})}} + 2 \cdot 1^{- \frac{1}{2}}$

Etapa 9.1.3.4.2

Reescreva a expressão.

$- (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |)) - 2 \cdot \frac{1}{2^{1}} + 2 \cdot 1^{- \frac{1}{2}}$

Etapa 9.1.3.5

Avalie o expoente.

$- (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |)) - 2 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot 1^{- \frac{1}{2}}$

Etapa 9.1.3.6

Combine $- 2$ e $\frac{1}{2}$ .

$- (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |)) + \frac{- 2}{2} + 2 \cdot 1^{- \frac{1}{2}}$

Etapa 9.1.3.7

Cancele o fator comum de $- 2$ e $2$ .

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Etapa 9.1.3.7.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$- (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |)) + \frac{2 \cdot - 1}{2} + 2 \cdot 1^{- \frac{1}{2}}$

Etapa 9.1.3.7.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 9.1.3.7.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$- (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |)) + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} + 2 \cdot 1^{- \frac{1}{2}}$

Etapa 9.1.3.7.2.2

Cancele o fator comum.

$- (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |)) + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} + 2 \cdot 1^{- \frac{1}{2}}$

Etapa 9.1.3.7.2.3

Reescreva a expressão.

$- (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |)) + \frac{- 1}{1} + 2 \cdot 1^{- \frac{1}{2}}$

Etapa 9.1.3.7.2.4

Divida $- 1$ por $1$ .

$- (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |)) - 1 + 2 \cdot 1^{- \frac{1}{2}}$

Etapa 9.1.3.8

Um elevado a qualquer potência é um.

$- (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |)) - 1 + 2 \cdot 1$

Etapa 9.1.3.9

Multiplique $2$ por $1$ .

$- (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |)) - 1 + 2$

Etapa 9.1.3.10

Some $- 1$ e $2$ .

$- (\ln (| 4 |) - \ln (| 1 |)) + 1$

Etapa 9.2

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- \ln (\frac{| 4 |}{| 1 |}) + 1$

Etapa 9.3

Simplifique.

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Etapa 9.3.1

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $4$ é $4$ .

$- \ln (\frac{4}{| 1 |}) + 1$

Etapa 9.3.2

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$- \ln (\frac{4}{1}) + 1$

Etapa 9.3.3

Divida $4$ por $1$ .

$- \ln (4) + 1$

Etapa 10

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- \ln (4) + 1$

Forma decimal:

$- 0.38629436 \dots$

Etapa 11