Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{4}{x^{5}} - {(1 - 2 x)}^{3}$

Etapa 1

É possível determinar a função $F (x)$ encontrando a integral indefinida da derivada $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Etapa 2

Estabeleça a integral para resolver.

$F (x) = \int \frac{4}{x^{5}} - {(1 - 2 x)}^{3} d x$

Etapa 3

Divida a integral única em várias integrais.

$\int \frac{4}{x^{5}} d x + \int - {(1 - 2 x)}^{3} d x$

Etapa 4

Como $4$ é constante com relação a $x$ , mova $4$ para fora da integral.

$4 \int \frac{1}{x^{5}} d x + \int - {(1 - 2 x)}^{3} d x$

Etapa 5

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 5.1

Mova $x^{5}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$4 \int {(x^{5})}^{- 1} d x + \int - {(1 - 2 x)}^{3} d x$

Etapa 5.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{5})}^{- 1}$ .

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Etapa 5.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \int x^{5 \cdot - 1} d x + \int - {(1 - 2 x)}^{3} d x$

Etapa 5.2.2

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$4 \int x^{- 5} d x + \int - {(1 - 2 x)}^{3} d x$

Etapa 6

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- 5}$ com relação a $x$ é $- \frac{1}{4} x^{- 4}$ .

$4 (- \frac{1}{4} x^{- 4} + C) + \int - {(1 - 2 x)}^{3} d x$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Combine $x^{- 4}$ e $\frac{1}{4}$ .

$4 (- \frac{x^{- 4}}{4} + C) + \int - {(1 - 2 x)}^{3} d x$

Etapa 7.2

Mova $x^{- 4}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) + \int - {(1 - 2 x)}^{3} d x$

Etapa 8

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$4 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) - \int {(1 - 2 x)}^{3} d x$

Etapa 9

Deixe $u = 1 - 2 x$ . Depois, $d u = - 2 d x$ , então, $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 9.1

Deixe $u = 1 - 2 x$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 9.1.1

Diferencie $1 - 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [1 - 2 x]$

Etapa 9.1.2

Diferencie.

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Etapa 9.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - 2 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Etapa 9.1.2.2

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Etapa 9.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Etapa 9.1.3.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 9.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 - 2 \cdot 1$

Etapa 9.1.3.3

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$0 - 2$

Etapa 9.1.4

Subtraia $2$ de $0$ .

$- 2$

Etapa 9.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$4 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) - \int u^{3} \frac{1}{- 2} d u$

Etapa 10

Simplifique.

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Etapa 10.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$4 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) - \int u^{3} (- \frac{1}{2}) d u$

Etapa 10.2

Combine $u^{3}$ e $\frac{1}{2}$ .

$4 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) - \int - \frac{u^{3}}{2} d u$

Etapa 11

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$4 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) - - \int \frac{u^{3}}{2} d u$

Etapa 12

Simplifique.

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Etapa 12.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$4 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) + 1 \int \frac{u^{3}}{2} d u$

Etapa 12.2

Multiplique $\int \frac{u^{3}}{2} d u$ por $1$ .

$4 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) + \int \frac{u^{3}}{2} d u$

Etapa 13

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$4 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) + \frac{1}{2} \int u^{3} d u$

Etapa 14

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{3}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$4 (- \frac{1}{4 x^{4}} + C) + \frac{1}{2} (\frac{1}{4} u^{4} + C)$

Etapa 15

Simplifique.

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Etapa 15.1

Simplifique.

$\frac{- 1}{x^{4}} + \frac{1}{2} (\frac{1}{4} u^{4}) + C$

Etapa 15.2

Simplifique.

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Etapa 15.2.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{2} (\frac{1}{4} u^{4}) + C$

Etapa 15.2.2

Combine $\frac{1}{4}$ e $u^{4}$ .

$- \frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{u^{4}}{4} + C$

Etapa 15.2.3

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{u^{4}}{4}$ .

$- \frac{1}{x^{4}} + \frac{u^{4}}{2 \cdot 4} + C$

Etapa 15.2.4

Multiplique $2$ por $4$ .

$- \frac{1}{x^{4}} + \frac{u^{4}}{8} + C$

Etapa 16

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $1 - 2 x$ .

$- \frac{1}{x^{4}} + \frac{{(1 - 2 x)}^{4}}{8} + C$

Etapa 17

Reordene os termos.

$- \frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{8} {(1 - 2 x)}^{4} + C$

Etapa 18

A resposta é a primitiva da função $f (x) = \frac{4}{x^{5}} - {(1 - 2 x)}^{3}$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{x^{4}} + \frac{1}{8} {(1 - 2 x)}^{4} + C$